Riemann integrierbare Funktionen: Gleichheit zeigen

Question

Es seien \( f, g \in R[a, b] \) reellwertig. Zeigen Sie die Gleichheit

\( \begin{aligned} \left(\int \limits_{a}^{b} f(x)^{2} \mathrm{~d} x\right) \cdot\left(\int \limits_{a}^{b} g(x)^{2} \mathrm{~d} x\right)-&\left(\int \limits_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \\ &=\frac{1}{2} \int \limits_{a}^{b} \int \limits_{a}^{b}(f(x) g(y)-f(y) g(x))^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \end{aligned} \)

Answer 1

dies lässt sich durch direktes Umformen beweisen. Es genügt zu zeigen, dass

\( f(x) f(x) g(y) g(y) - f(x)g(x)f(y)g(y) \)

\(= \frac{1}{2} f(x)g(y)f(x)g(y) - f(x)g(y)f(y)g(x) + \frac{1}{2} f(y)g(x)f(y)g(x) \).

Schon nach einem Schritt haben wir

\( f(x) f(x) g(y) g(y) = \frac{1}{2} f(x)g(y)f(x)g(y) + \frac{1}{2} f(y)g(x)f(y)g(x) \).

Da die Integrationsgrenzen für die Integrationsvariablen \( x \) und \( y \) gleich sind und das Integral zudem symmetrisch in diesen Variablen ist (I(x, y) = I(y, x)) und außerdem das Integral linear ist, lässt sich die rechte Seite zusammenfassen

\( f(x) f(x) g(y) g(y) = \frac{1}{2} f(x)g(y)f(x)g(y) + \frac{1}{2} f(y)g(x)f(y)g(x) \)

\(= \frac{1}{2}(2 f(x)g(y)f(x)g(y)) = f(x)g(y)f(x)g(y)\).

und die Aussage ist bewiesen.

MfG

Mister

Comments

Ok, vielen Dank.

Habe jetzt noch die folgenden Fragen offen:

- Es gehören doch noch die Integralzeichen dazu, oder? Oder gilt die Beziehung dann automatisch auch für Integrale?

- woher kommt der 2. Punkt y ? Mir ist ehrlich gesagt nicht klar, wie man zu den Umformungen kommt. Die nachfolgende Argumentation hingegegen habe ich verstanden.

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ja, ich habe die Integralzeichen weggelassen, um es übersichtlicher zu machen.

Was meinst du mit dem 2. Punkt y?

MfG

Mister

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ich meine: woher kommt z.B. g(y) ? In der Ausgangsgleichung wird ja immer das Integral im Punkt x betrachtet. Welche Überlegungen führen dazu, dass ich einen zweiten Punkt y betrachte. Hoffe, das ist verständlicher.  

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Achso, das kommt, weil ich zwei Integrale vermische. Dann muss ich die Integrationsvariablen so wählen, dass deutlich wird, dass sie verschieden sind (also \( x \) und \( y \) statt zweimal \( x \)):

\( \left(\int f(x)^2 dx \right) \cdot \left(\int g(x)^2 dx \right) = \left(\int f(x)^2 dx \right) \cdot \left(\int g(y)^2 dy \right) \) \( = \int\int f(x)^2 g(y)^2 dx dy \).