Aufgabe:
Problem 1 Riemann-Integrierbarkeit
Seien \( a, b \in \mathbb{R} \) mit \( a<b \) und \( f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) eine monoton fallende, beschränkte Funktion. Zeigen Sie durch die folgenden Schritte dass \( f \) Riemann-integrierbar ist (d.h. beweisen Sie den entsprechenden Teil von Theorem 6.9 im Skript).
(a) Geben Sie eine uniforme Zerlegung \( \left\{x_{i}: i=0, \ldots n\right\} \) von \( [a, b] \) sowie Treppenfunktionen \( \phi_{n}, \psi_{n} \) an, so dass \( \forall x \in[a, b]: \phi_{n}(x) \leq f(x) \leq \psi_{n}(x) \). Konstruieren Sie diese Treppenfunktionen abhängig von der Feinheit der Zerlegung, so dass \( f \) gut angenähert wird, d.h., \( \left|f(x)-\phi_{n}(x)\right|,\left|f(x)-\psi_{n}(x)\right| \) sollen klein sein. Diese Approximation soll besser werden wenn \( n \) größer wird.
(Hinweis: Uniforme Zerlegung bedeutet dass \( \left|x_{i}-x_{i-1}\right| \) gleich ist für alle \( i \).)
(b) Berechnen Sie \( \int \limits_{a}^{b} \psi_{n}(x) d x-\int \limits_{a}^{b} \phi_{n}(x) d x \). Was passiert wenn die Zerlegung verfeinert wird? Bestimmen Sie den Grenzwert für \( n \rightarrow \infty \).
Problem/Ansatz:
Ich weiß leider nicht, ob mein Ansatz richtig ist:
\( x j=a+j \frac{b-a}{n}, j=0, \cdots, n \)
\( \begin{array}{l}x \in\left(x_{j-1}, x_{j}\right) \\ \phi \leq f: \quad \phi(x)-\inf \left\{f(x) x \in\left[x_{j-1}, x_{j}\right]\right\}=n_{i}\end{array} \)
\( \begin{array}{l}\psi \geq f \quad \psi(x)=\max \left\{f(x)-x \in\left[x_{j}-1, x_{j}\right]\right\} . M_{j} \\ \int \limits_{a}^{b} \psi(x) d x=\sum \limits_{j=1}^{n} M_{j}\left(x_{j}-x_{j-1}\right) \\ \int \limits_{a}^{b} \phi(x) d x=\sum \limits_{j=1}^{n} m_{j}\left(x_{j}-x_{j n}\right)\end{array} \)
\( \begin{aligned} \int \limits_{a}^{b} \psi(x) d x-\int \limits_{a}^{b} \phi(x) d x & =\sum \limits_{j=1}^{n} M_{j} \frac{b-a}{n}-\sum \limits_{j=1}^{n} m_{j} \frac{b-a}{n} \\ & =\sum \limits_{j=1}^{n}(\underbrace{}_{\rightarrow 2}\left(M_{j}-m_{j}\right)^{\frac{b-a}{n}} \underbrace{\rightarrow}_{n \rightarrow \infty}=n \cdot \tilde{\varepsilon} \quad \quad \text { mit } \tilde{\varepsilon}=\frac{\varepsilon-a}{n}=\tilde{\varepsilon}(b-a)\end{aligned} \)
