Berechnen Sie die eingeschlossenen Flächen zwischen den Graphen f1(x)=2-(2/3)x und f2(x)=√x * (4-x)

Question

Berechnen Sie die eingeschlossenen Flächen zwischen den Graphen:

$$ f1{(x)}=2-\frac { 2 }{ 3 } x\\ f2{(x)}=\quad \sqrt { x } *(4-x) $$

Ich habe die beiden Funktionen gleichgesetzt um die Schnittpunkte (Grenzen) zu bestimmen. Ich habe nun 9x³-76x²+168x-36=0 erhalten aber ich komme da nicht weiter. Ich könnte eine Polynomdivision durchführen aber die Ratestelle ist auch das Problem. Ich weiß, dass die Lösungen keine ganzen Zahlen sind. Oder kann man diese irgendwie geschickt ausführen? Was mir noch einfällt, wäre die Cardanische Lösungsformel aber die ist auch sehr aufwendig.

Vielen Dank schon mal!

Comments

Schau vielleicht mal, was WolframAlpha bei den related Queries im Link von georgborn hergibt.

Skizziere deine beiden Graphen.

f1(x) ist ja eine Gerade.

f2(x) hat die Nullstellen x1=0 und x2=4 und ist nach unten geöffnet.
Nun kannst du die Startwerte für das Newtonverfahren recht genau abschätzen.

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So wie es aussieht, gibt es keine andere Möglichkeit. Danke ;-)

Answer 1

Ich habe deinen Term einmal  ( oben rechts auf dieser Seite " weiter / Wolfram Alpha " eingegeben

Hier der Link
https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+%28++9x%C2%B3-76x%C2%B2%2B168x-36%3D0+%29

Es  ließe sich so etwas z.B. mit dem Newton´schen Näherungsverfahren lösen.
Dies wäre aber extrem aufwendig.
Hast du alles richtig, Aufgabenstellung und Umformung wiedergegeben ?

mfg Georg

Comments

Wie würde man das mit Newton-Verfahren machen? Mit welchen Startwert anfangen? Ja, die Aufgabenstellung ist richtig. Die Umformung auch:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=2-%282%2F3%29x%3D%E2%88%9A%28x%29+*+%284-x%29+solution

https://www.wolframalpha.com/input/?i=9x%C2%B3-76x%C2%B2%2B168x-36%3D0+solution

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@Gast ih17: Schau mal hier bei Uknowns Artikel rein

https://www.mathelounge.de/49035/mathe-artikel-das-newtonverfahren :)

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Das Newton-Verfahren ist nicht das Problem, sondern der Startwert. Wenn die Nullstellen weit auseinander liegen, dann wird das aufwendig. Was ich wissen möchte ist, ob es eine einfachere Methode gibt. Bis jetzt sind mir die Cardanische Lösungsformel und das Newton-Verfahren bekannt. Noch eine andere Idee?

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Wenn ich alles " zu Fuß  " rechnen müßte würde ich zunächst
die Skizze zeichnen und dann den Startwert für das Näherungsverfahren
entnehmen.
mfg Georg
Die Skizze zeigt die Schnittpunkte x = 0.24 und  x = 4.46.
Wieso kommt noch x = 3.74 heraus ?

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Gute Frage XD

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EDIT: ih17 hat quadriert. Dann ist das ähnlich, wie wenn man mit einem Term multipliziert, der x enthält. Da können Scheinlösungen hinzukommen.

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Ich denke die Umformung in
9x³-76x²+168x-36=0
stimmt nicht.
Dies wäre auch nicht so wichtig es sei denn
du wolltest das Näherungsverfahren
" zu Fuß " durchführen.
mfg Georg

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Ich habe quadriert um die Wurzel aufzulösen.

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@Lu
ich war bisher zu faul die Sache nachzurechnen.
Die Graphen der Ausgangsfunktionen
( f1 - f2 )
und der Umformung sind auf jeden Fall
nicht identisch.
Hier müßte ein Fehler vorliegen.

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An den Gast
Ist das denn eine Frage aus einem Mathebuch / Unterricht ?
In manchen Bundesländern kommen solche Fragen vor.
Dann ist aber ein GTR-Rechner erlaubt, der die Nullstellen
ausrechnen kann.
mfg Georg

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Skript aber ein GTR ist nicht erlaubt.

$$ 2-\frac { 2 }{ 3 } x=\sqrt { x } *(4-x)\quad /(\quad )²\\ (2-\frac { 2 }{ 3 } x)²=(\sqrt { x } *(4-x))²\\ 4-2*2*\frac { 2 }{ 3 } x+(\frac { 2 }{ 3 } x)²=x(4-x)²\\ 4-\frac { 8 }{ 3 } x+\frac { 4 }{ 9 } x²=x(16-8x+x²)\\ 4-\frac { 8 }{ 3 } x+\frac { 4 }{ 9 } x²=16x-8x²+x³\\ x³-\frac { 76 }{ 9 } x²+\frac { 56 }{ 3 } x-4=0\quad /*9\\ 9x³-76x²+168x-36=0\\ $$

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Wie gesagt können beim Quadrieren Scheinlösungen hinzukommen. Du musst zwingend alle Lösungen noch in der ursprünglichen Gleichung testen.

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An der Umformung kann ich keinen Fehler finden.
Wird wohl eine Scheinlösung hinzugekommen sein.

Wenn ich die Aufgabe für die Schule zu lösen hätte
( alles zu Fuß ) würde ich die beiden angenäherten Schnitt-
punkte aus der Skizze entnehmen, dann Integrieren und
die Fläche berechnen.

Bezüglich der exakten Schnittpunkte würde ich die Besprechung
im Unterricht abwarten.

Falls du mit der Flächenberechnung nicht weiterkommst bin
ich gern behilflich.

mfg Georg

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Ich brauche deine Hilfe :-) Also ich habe jetzt das Newtonverfahren verwendet. Für die untere Grenze habe ich x1=0,24 und für die obere Grenze x2=4,46

Die Stammfunktion: $$ F(x)=\frac { 9 }{ 4 } { x }^{ 4 }-\frac { 76 }{ 3 } x³+84x²-36x $$

Anschließend habe ich die obere Grenze minus die untere Grenze gerechnet und bin auf ein falsches Ergebnis gekommen :-(

Die Lösung sollte A=6,1829 sein aber bei mir kommt etwas mit 150... raus

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Du darfst da nicht über die quadrierte Gleichung integrieren.

Integriere über die Differenz der gegebenen Kurven (f1 - f2). Die Grenzen sind dann schon gut. Vielleicht noch je mit einer Stelle mehr rechnen, damit da ungefähr das Richtige rauskommt.

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  wie Lu schon sagte hast du bei deiner Umformung schon einmal
quadriert. Die Funktion entspricht nicht mehr den Ausgangsfunktionen.
Mit den Ausgangsfunktionen ergibt sich

c ( x ) = √x * ( 4  - x ) - ( 2 - 2 / 3 * x )
c ( x )  = x^{1/2}  * ( 4  - x ) -  2 + 2 / 3 * x
c ( x )  = 4 * x^{1/2}   - x^{3/2} -  2 + 2 / 3 * x
∫ c ( x ) dx  = 4 * 2/3 * x^{3/2} - 2/5 * x^{5/2} - 2 * x + 2/3 * x^2  / 2

A  = [ 4 * 2/3 * x^{3/2} - 2/5 * x^{5/2} - 2 * x + 2/3 * x^2  / 2 ]_0.24^4.46
A = 6.18

mfg Georg

 

 

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Ich habe noch eine kleine Frage. Wenn ich anstatt

c ( x ) = √x * ( 4  - x ) - ( 2 - 2 / 3 * x )

mit

c ( x ) =  ( 2 - 2 / 3 * x ) - (√x * ( 4  - x ) )

dann ist das Ergebnis negativ also -6.18. Ist es nicht egal, welche Seite der Gleichung ich auf welche Seite ich bringe?

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Deine Aufgabe war eine Flächenberechnung zwischen
zwei Graphen. Eine Fläche ist immer positiv.
Sollte bei der Integration  ein negativer Wert herauskommen
muß dieser positiv gesetzt werden.
Nach Ansicht der Graphen hatte ich mich für
c ( x ) = √x * ( 4  - x ) - ( 2 - 2 / 3 * x )
entschieden weil dort ein positver Wert herauskam.
Mathematisch korrekter wäre gewesen
c ( x ) = | f1 ( x ) - f2 ( x ) |
oder
c ( x ) = | f2 ( x ) - f1 ( x ) |
( die Betragszeichen sind dir bekannt )

mfg Georg