Bestimmen Sie die Größe der beiden eingeschlossenen Flächen. Berechnen Sie die Kosten für die gärtnerische Gestaltung.

Question

Aufgabe - Parkanlage:

In einer historischen Parkanlage befindet sich ein geschwungener wasserlauf, der durch den Graphen der Funktion w mit w \( (x)=0,001 x^{3}-0,16 x^{2}+6,5 x \) mit der notwendigen Genauigkeit beschrieben wird, Die Breite des Wasserlaufs wird (zunächst) vernachlässigt.

Durch den Park führt eine Schmalspurbahn mit geradem Streckenverlauf, der durch den Graphen der Funktion b mit \( b(x)=x \) gut dargestellt wird. Die Breite der Gleisanlage bleibt ebenfalls (zunäkhst) unberưcksichtigt.
Alle Koordinaten in der Aufgabe sind in Metern angegeben.

a) Die Graphen von \( w \) und \( b \) haben drei Schnittpunkte, bestimmen Sie diese.

b) Ermitteln Sie die Extrem- und Wendepunkte von w und runden Sie alle Ergebnisse auf die erste Nachkommastelle.

Zeichnen Sie die Graphen von \( w \) und \( b \) in ein Koordinatensystem.

c) Die Flächen, die von der Bahnlinie und dem Wasserlauf eingeschlossen werden, sollen besonders aufwändig gärtnerisch gestaltet werden. Pro Quadratmeter werden 13 € veranschlagt. Es wird auf \( 10 \mathrm{~m}^{2} \) genau abgerechnet.

Bestimmen Sie in dieser Genauigkeit die Größe der beiden eingeschlossenen Flächen. Berechnen Sie die Kosten für die gärtnerische Gestaltung der beiden Flächen.

d) In der Nähe des Wasserlaufs beim Punkt (85 I 12) befindet sich die Ausflugsgaststätte "Parkperle". Die "Parkperle" will ein weiteres Geschäftsfeld entwickeln: Pop-Konzerte. Dafür wird ein neuer Starkstromanschluss zu einer Transformatorenstation gebraucht, die sich im Punkt (25 I 90) befindet.

Zeichnen Sie die Transformatorenstation und die \( { }_{n} \) Parkperle \( { }^{*} \) ein.

Die von der Ausflugsgaststätte zur Station führende neue Elektroleitung soll möglichst kurz, also gerade sein. Der Wasserlauf soll nicht unterquert werden, weil das recht teuer wäre.

Beschreiben Sie, wie rechnerisch geklärt werden kőnnte, ob diese Forderungen erfüllbar sind und führen Sie dann notwendige Rechnungen durch.

Answer 1

zur Aufgabe a)

w(x)=b(x)

0,001x³-0,16x²+6,5x=x

0,001x³-0,16x²+5,5x=0

x*(0,001x²-0,16x+5,5)=0

Ist ein Faktor 0, so ist das Produkt auch 0. Dementsprechend musst du berechnen für welche x-Werte die Klammer 0 ergibt (Mitternachtsformel).

zur Aufgabe c)

$$ \int_{S_1}^{S_2} w(x)dx -\int_{S_1}^{S_2} b(x)dx + \int_{S_2}^{S_3} b(x)dx -\int_{S_2}^{S_3} w(x)dx = A $$

S1, S2, S3 sind hierbei die Schnittpunkte der Funktionen. Das Ganze musst jetzt nur noch (vereinfachen und) berechnen ^^

Gruß
EmNero

Answer 2

a) Schnittpunkte:

w(x)=b(x)

0,001x^3-0,16x^2+6,5x=x              I-x

0,001x^3-0,16x^2+5,5x=0

x(0,001x^2-0,16x+5,5)=0

Nullproduktsatz:

x₁=0

$${ x }_{ 2/3 }=\frac { 0,16\pm \sqrt { 0,16^{ 2 }-4*0,001*5,5 }  }{ 2*0,001 } \\ { x }_{ 2/3 }=\frac { 0,16\pm \sqrt { 0,0036 }  }{ 0,002 } \\ { x }_{ 2 }=\quad 110\\ x_{ 3 }=50\\ $$

(durch Mitternachtsformel)

c)

~plot~ 0,001x^3-0,16x^2+6,5x; x;(-13/10)x+(245/2) ~plot~

$$A=\int _{ 0 }^{ 50 }{ (0,001x^{ 3 }-0,16x^{ 2 }+6,5x) } -xdx+\int _{ 50 }^{ 110 }{ x-(0,001x^{ 3 }-0,16x^{ 2 }+6,5x) } dx\\ =\left[ 0.00025x^{ 4 }-\frac { 16 }{ 300 } { x }^{ 3 }+3,25x^{ 2 }-0,5x^{ 2 } \right] \begin{matrix} 50 \\ 0 \end{matrix}+\left[ 0,5{ x }^{ 2 }-(0.00025x^{ 4 }-\frac { 16 }{ 300 } { x }^{ 3 }+3,25x^{ 2 }) \right] \begin{matrix} 110 \\ 50 \end{matrix}\\ \approx 4650({ m }^{ 2 })\\ Kosten=\quad 4650m^{ 2 }*13€/m^{ 2 }\approx 60\quad 460,83€$$

d) Zunächst benötigst du eine Geradengleichung, die die Elektroleitung beschreibt, mit der Form y=mx+c

Die Steigung lässt sich durch die Punkte leicht berechnen durch einen Differenzenquotient:

$$m=\frac { 12-90 }{ 85-25 } =-\frac { 13 }{ 10\\  } \\ \Rightarrow y=-\frac { 13 }{ 10\\  } x+c\\ Jetzt\quad einen\quad der\quad Beiden\quad Punkte\quad einsetzen:\\ 90=-\frac { 13 }{ 10\\  } *25+c\quad \quad \quad \quad |+-\frac { 13 }{ 10\\  } *25\\ \frac { 245 }{ 2 } =c\\ \Rightarrow y=-\frac { 13 }{ 10\\  } x+\frac { 245 }{ 2 } $$

Die Gerade ist auf der Skizze oben eingezeichnet.

Wenn die Leitung nicht unter dem Wasser sein soll, dürfen die Gerade und die Funktion w keine Schnittpunkte haben:

$$-\frac { 13 }{ 10\\  } x+\frac { 245 }{ 2 } =0,001x^{ 3 }-0,16x^{ 2 }+6,5x\quad \quad |+\frac { 13 }{ 10\\  } x-\frac { 245 }{ 2 } \\ 0,001x^{ 3 }-0,16x^{ 2 }+6,5x+\frac { 13 }{ 10\\  } x-\frac { 245 }{ 2 } =0\\ 0,001x^{ 3 }-0,16x^{ 2 }+\frac { 663 }{ 10 } x-\frac { 245 }{ 2 } =0$$

An dieser Stell kommst du, wenn ich mich nicht irre, ohne GTR nicht weiter, es sei denn, du kennst dich mit dem Newton.Verfahren aus (umständlich).

Ich hoffe ich konnte dir Weiterhelfen!

LG