Die Gleichung COS(x) = 2·√2·x/(3·pi) - √2 lässt sich wohl nur numerisch lösen.
Du brauchst sie aber nicht lösen, denn Du hast praktischerweise doch Schnittpunkte geliefert bekommen.
Ich komme daher auf folgende Schnittstellen x = 1.5·pi oder x = 0.75·pi oder x = 2.25·pi
A = 2·∫ (1.5·pi bis 2.25·pi) (COS(x) - (2·√2·x/(3·pi) - √2)) dx = - √2·(3·pi - 8·√2 - 8)/8 ≈ 1.748132460
Der Schwerpunkt der Fläche liegt im Symmetriepunkt bei (3/2·pi | 0)