vollständige Induktion: Produkt mit 2 Variablen

Question

Zu beweisen ist:

$\prod \limits_{i=0}^{n-1}\left(1+z^{2^{i}}\right)=\frac{1-z^{2^{n}}}{1-z}$

wobei $\quad z \neq 1$

Könnte mir jemand mit dem Beweis helfen?

Answer 1

Für n = 1 gilt die Behauptung, denn:

$$\prod _{ i=0 }^{ n-1 }{ (1+{ { z }^{ { 2 }^{ i } } }) } =\prod _{ i=0 }^{ 0 }{ (1+{ { z }^{ { 2 }^{ i } } }) }$$$$=(1+{ { z }^{ { 2 }^{ 0 } } })=(1+z)=\frac { (1+z)(1-z) }{ (1-z) } =\frac { 1-{ z }^{ 2 } }{ 1-z } =\frac { 1-{ z }^{ { 2 }^{ 1 } } }{ 1-z }$$

Gelte nun für festes n > 1:

$$\prod _{ i=0 }^{ n-1 }{ (1+{ { z }^{ { 2 }^{ i } } }) } =\frac { 1-{ z }^{ { 2 }^{ n } } }{ 1-z }$$

Zu zeigen: Dann gilt für n + 1 :

$$\prod _{ i=0 }^{ n }{ (1+{ { z }^{ { 2 }^{ i } } }) } =\frac { 1-{ z }^{ { 2 }^{ n+1 } } }{ 1-z }$$

Beweis:

$$\prod _{ i=0 }^{ n }{ (1+{ { z }^{ { 2 }^{ i } } }) } =\prod _{ i=0 }^{ n-1 }{ (1+{ { z }^{ { 2 }^{ i } } }) } *(1+{ { z }^{ { 2 }^{ n } } })$$$$=\frac { 1-{ z }^{ { 2 }^{ n } } }{ 1-z } *(1+{ { z }^{ { 2 }^{ n } } })$$$$=\frac { 1+{ { z }^{ { 2 }^{ n } } }-{ z }^{ { 2 }^{ n } }-{ z }^{ { 2 }^{ n }+{ 2 }^{ n } } }{ 1-z }$$$$=\frac { 1-{ z }^{ 2*{ 2 }^{ n } } }{ 1-z }$$$$=\frac { 1-{ z }^{ { 2 }^{ n+1 } } }{ 1-z }$$

q.e.d.

Comments

Wie kann man aus z^2*2n ein z²ⁿ⁺¹ machen ?

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Schau richtig hin: Das n im ersten Ausdruck ist kein Faktor sondern ein Exponent zur 2.

Es gilt:

$$2*{ 2 }^{ n }=2*(2*2*...\quad (n\quad mal)\quad ...*2)=2*2*...\quad (n+1\quad mal)\quad ...*2={ 2 }^{ n+1 }$$also:$${ z }^{ 2*2^{ n } }={ z }^{ 2^{ n+1 } }$$

(Ich hoffe, man kann das noch lesen .... )