trigometrische Funktion x/(sqrt(a^2-x^2) integrieren

Question

Folgende Aufgabe (Integration durch trigometrische Substitution mit x= a*sinu):

\( \int \frac{x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} d x \)

Mit der Substitution mit x= a*sinu komme ich dann auf folgendes:

\( \int \frac{\sin u}{\cos u} \)

hier habe ich nun

cosu substituiert und erhalte schließlich

\( \int-\frac{1}{\cos u}=-\ln (\cos u) \)

mit Rücksubstitution

\( \cos u=\frac{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{a} \)

folgt schließlich:

\( -\ln \frac{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{a} \)

Leider habe ich dazu kein Ergebnis und da ich bei der Integration mit trigometrischer Substituion noch ziemliche Probleme habe, hoffe ich das mit jemand helfen kann.

Ich wäre auch über jeden Tipp bezüglich dieses Themas dankbar.

Answer 1

Benutzt doch zum Überprüfen und eventuell zum Zachrechnen Wolframalpha

Answer 2

Kommentar zu deinem Rechenweg:

Du musst aufpassen, dass du mit deinen du und dx nicht durcheinander kommst. Schleppe diese in deiner Umformung besser mit. Entweder hast du da Fehler drinn oder du musst deine Antwort auf die von Matheocoach umformen können (bis auf eine Konstante) + C.

Nun zum Integranden:

Du hast hier im Zähler bis auf einen Faktor die innere Ableitung von u = a^2 -x^2. D.h. die innere Ableitung ist ungefähr Faktor des Integranden. Daher kann braucht man keine trigonometrische Substitution ins Auge zu fassen.

du/dx = - 2x

du/ /(-2x) = dx 

∫ x/ √(a^2 - x^2) dx

= ∫ x/ √u * du/(-2x)          

               |nicht ganz sauber notiert, da x und u zusammen unter dem Integral, x lässt sich aber gleich kürzen.

= -1/2 ∫ 1/√u  du

und nun sorgfältig weiterrechen, vgl. Antwort von Mathecoach.