Eigenwerte von einer Matrix mit Variable

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die folgende Matrix:
\( A:=\left(\begin{array}{ccc}{\alpha+1} & {0} & {\alpha} \\ {0} & {-\alpha} & {0} \\ {\alpha} & {0} & {\alpha+1}\end{array}\right) \)

Für welche \( \alpha \in \mathbb{R} \)

(a) ist 1 ein Eigenwert von \( A \)

(b) ist \( -1 \) ein Eigenwert von \( A \)

c) sind 1 und \( -1 \) Eigenwerte von \( A \)

Könnte mir jemand die Lösungswege oder zumindest die Ergebnisse zeigen damit ich weiß ob ich richtig liege?

Answer 1

Prüfe die Bedingung
DET(A - k*E) = 0

DET([a + 1 - k, 0, a; 0, -a - k, 0; a, 0, a + 1 - k]) = 2·a^2·k - 2·a^2 + a·k^2 - a - k^3 + 2·k^2 - k

Setze jetzt für k = 1 und k = -1 ein um zu schauen ob das charakteristische Polynom Null wird.

2·a^2·(1) - 2·a^2 + a·(1)^2 - a - (1)^3 + 2·(1)^2 - (1) = 0
0 = 0

2·a^2·(-1) - 2·a^2 + a·(-1)^2 - a - (-1)^3 + 2·(-1)^2 - (-1) = 0
4 - 4·a^2 = 0

1 ist also immer ein Eigenwert. (-1) ist ein Eigenwert für a = ± 1

Comments

Ist -1 nicht Eigenwert für a=1 und a=-1

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Ja. 

4 - 4·a² = 0

muss ja erfüllt sein. Hatte wohl das ± unterschlagen.