Zeige, ob die Funktion im Punkt xo differenzierbar ist. Bsp. f(x)= 1/|x|

Question

Zeigen Sie, ob die angegebene Funktion ƒ differenzierbar im Punkt x₀ bzw. in D ist.

a) ƒ: ℝ → ℝ, x → 0, x₀ =0

b) ƒ: ℝ^- → ℝ, x → 1 / |x|, D = ℝ^-

c)

\( f : R \longrightarrow R , \quad \longrightarrow \left\{ \begin{array} { l } { \sqrt { x } \text { falls } x \geq 0 } \\ { x \text { falls } x < 0 } \end{array} \right. , x _ { 0 } = 0 \)

d)

\( f : R \longrightarrow R , \longrightarrow \left\{ \begin{array} { l } { x ^ { 2 } \text { falls } x \geq 0 } \\ { 0 \text { falls } x < 0 } \end{array} \right. , x _ { 0 } = 0 \)

Anmerkung: Definitionen von hier https://www.mathelounge.de/13411/zeigen-b-die-funktion-im-punkt-xo-differenzierbar-ist

Im Folgenden ist D stets eine nichtleereTeilMenge von ℝ  ohne isolierte Punkte.

Definition:Ist f : D→  ℝ  eine Funktion und x₀ ∈  D,  so heisst differenzierbar in x₀ ,wenn

$$ f ^ { \prime } \left( x _ { 0 } \right) : = \lim _ { x \rightarrow x _ { 0 } } \frac { f ( x ) - f \left( x _ { 0 } \right) } { x - x _ { 0 } } $$

existiert,ƒ heisst differenzierbar, wenn ƒ in jedem x ∈ D differenzierbar ist. 

Ist ƒ differenzierbar, so heisst

ƒ^':  D→ ℝ  ,x→fʹ(x)

Ableitung von ƒ.

Comments

Schau in dieser Zeit schon mal die ähnlichen Fragen an. zB. https://www.mathelounge.de/11636/ist-der-nahtstelle-stetig-oder-differenzierbar-bsp-fur-fur

Nur c) ist hier nicht differenzierbar in xo.

Answer 1

a)

f(x) = 0
f '(x) = 0
Damit ist f in ganz R differenzierbar 

b)

f(x) = 1/|x|
für x € R^- kann man schreiben
f(x) = -1/x
f '(x) = 1/x^2
Damit ist f in ganz R^- differenzierbar, weil 0 ja nicht zu R^- gehört.

c) 

f1(x) = √x für x ≥ 0
f1'(x) = 1/(2√x)

f2(x) = x für x < 0
f2'(x) = 1

An der Stelle 0 müsste der rechtsseitige Steigung gleich der Linksseitigen Steigung sein. Linksseitige Steigung ist 1. Rechtsseitige Steigung ist allerdings unendlich. Damit ist die Funktion an der Stelle Null nicht differenzierbar.

d)

f1(x) = x^2 für x ≥ 0
f1'(x) = 2x

f2(x) = 0 für x < 0
f2'(x) = 0

An der Stelle 0 müsste der rechtsseitige Steigung gleich der Linksseitigen Steigung sein. Linksseitige Steigung ist 0. Rechtsseitige Steigung ist auch 0. Damit ist die Funktion an der Stelle Null differenzierbar.

Ich habe mir erlaubt den Differenzialquotienten direkt durch die Ableitungsfunktion zu ersetzen.