Globalen Maximum- und Minimumpunkt von f(x,y)=(x^2+y^2)(x+1) bestimmen

Question

f(x,y)=(x²+y²)(x+1)

(x,y) ∈ D= {(x,y):1 ≤ x²+y² ≤ 4}

Die Funktion hat keinen stationären Punkt im Innern von D. Bestimmen Sie den globalen Maximumpunkt und den globalen Minimumpunkt von f. Geben Sie auch die Extremwerte an.

Ich habe bei solchen Aufgaben Schwierigkeiten wenn D nicht nur aus Zahlen besteht sondern D auch noch Variablen enthält. Bei dieser Aufgabe muss ich ja nur den Rand der Funktion betrachten, da keine stationären Punkte im inneren von D vorhanden sind.

Die Ränder sind ja 
x²+y²=1 und x²+y²=4

x²+y²=1 Eingesetzt in meine Funktion ist:

f(x)=1⋅(x+1) = x+1

Diese Funktion muss ich ja nun ableiten und die Nullstelle bestimmen
Abgeleitet ist die Funktion f'(x)=1

Nun habe ich aus einem anderen Forum erfahren das wenn die Ableitung keine Nullstelle hat, der Extrempunkt auf der Ecke liegt. Wie genau ich aber jetzt auf das Ergebnis komme ich mir noch nicht klar. Ich habe also bei der Ableitung keine Nullstelle, ist die 1 aus der Ableitung nun ein Teil meines Ergebnisses?

Answer 1

du hast als Rand gegeben

\( x^2 + y^2 = a^2 \)

mit \( a \) z.B. \( a^2 = 1 \) oder \( a^2 = 4 \).

Stellst du dies nach \( x \) um so ist es:

\( x = \pm \sqrt{a^2 - y^2} \).

Da du die Funktion \( x + 1 \) optimieren sollst, heißt das, dass \( x \) möglichst groß sein soll.

Also wählst du durch logisches Argumentieren (nicht durch Rechnen)

\( x = + a \) (und \( y = 0 \)).

MfG

Mister