Wie berechne ich den Abstand mit zwei Richtungsvektoren?

Question

Wie berechne ich den Abstand aus? Habe es bzw. wollte es mit dem Lotfuspunkt berechnen, aber die Ebene hat zwei Richtungsvektoren und ich weiß nicht wie ich da vorgehen soll!

 

Answer 1

Der kürzeste Weg zwischen einem Punkt und einer Ebene, ist der auf der Ebene senkrechte. Also betrachte den Normalenvektor.

Den Normalenvektor kannst du aus der Parameterdarstellung ablesen oder mit Hilfe des Kreuzproduktes aus den Richtungsvektoren berechnen.

Falls ihr das Kreuzprodukt nicht hattet geht es auch mit dem Skalarprodukt, wenn du ein Gleichungssystem aufstellst.

Comments

Ja das Kreuzprodukt haben wir behandelt. Und wenn ich dann den Normalenvektor habe, wie gehe ich dann voran? Kann ich es dann über den Lotfuspunkt ausrechnen?

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An sich würde ich dann eine Gerade durch den Punkt A mit dem Normalenvektor als Richtungsvektor erstellen. Dann den Schnittpunkt von Gerade und Ebene errechnen. Wenn du den Schnittpunkt hast musst du nur doch den Abstand der Punkte berechnen.

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Vielen herzlichen Dank, ich versuche es dann mal und hoffe, das ich auf eine anständige Lösung komme.

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Noch eine Frage, wie setzte ich die Ebene und Gerade gleich( Schnittpunkt berechnen) Wenn die Ebene r1 und r2 hat. Kann ich da dann einfach davon ausgehen das E: (-1,1,1)+(2,1,2)*s ist? Also den Normalenvektor als den Richtungsvektor?

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Also du hast das für jeden Punkt x der Ebene gilt:

x=(-1,1,1)+(1,2,0)t+(1,0,1)s

Und für jeden Punkt x der Gerade:

x=(-4,2,2)+(-2,1,2)u

Das kannst du jetzt über gleichsetzen um den Schnittpunkt zu finden und bekommst dann:

(-1,1,1)+(1,2,0)t+(1,0,1)s=(-4,2,2)+(-2,1,2)u

<=> (1,2,0)t+(1,0,1)s-(-2,1,2)u=(-3,0,1)

Das ist ein lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten t,s,u.

Hilft dir das?

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Soweit habe ich es jetzt auch bekommen nur weis ich nicht wie ich das LGS mit drei Unbekannten lösen soll!

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Okay wir haben die Gleichungen:

(1) t+s+2u=-3

(2) 2t-u=0

(3) s-2u=1

Jetzt hast du die Auswahl:
1. Wenn ihr das gemacht habt, kannst du das ganze als Matrix im Gaußverfahren lösen.

2. Du kannst es durch "normales" einsetzen und auflösen lösen.

Ich werde mit mal an das 2. halten, da das erste nicht sicher für euch ist:

(2) <=> 2t=u

(3) <=> s=2u

Erstmal (2) in (1) einsetzen

(1) u/2+s+2u=-3

Dann setzte ich (3) in (1) ein:

(1) u/2+2u+2u=-3 <=> 9/2u=-3 <=> 9u=-6 <=> u=-6/9

Jetzt das ganze Rückwärts einsetzen:

t=-6/18

s=-12/9

und damit bist du quasi fertig.

Answer 2

E: X = [-1, 1, 1] + r·[1, 2, 0] + s·[1, 0, 1]

N = [1, 2, 0] ⨯ [1, 0, 1] = [2, -1, -2]

E: X·[2, -1, -2] = [-1, 1, 1]·[2, -1, -2]
E: 2·x - y - 2·z = -5

Gerade g durch A Senkrecht zu E

g: X = [-4, 2, 2]+ r·[2, -1, -2] = [2·r - 4, 2 - r, 2 - 2·r]

Schnittpunkt von g mit E

2·(2·r - 4) - (2 - r) - 2·(2 - 2·r) = -5
r = 1

Schnittpunkt

S = [2·1 - 4, 2 - 1, 2 - 2·1] = [-2, 1, 0]