Gemäss https://de.wikipedia.org/wiki/Taylorreihe brauchst du hier alle Ableitungen an der Stelle a = 1:
f(x) = ln x f(1) = 0
f ' (x) = 1/x = x^{-1} f ' (1) = 1 = (-1)^0*0! (je nach Definition so möglich)
f ' ' (x) = - x^{-2} f ' ' (1) = - 1 =(-1)^1*1!
f '''(x) = 2x^{-3} f ' ' ' (1) = 2 =(-1)^2*2!
f ''''(x) = - 6x^{-4} f''''(1) = - 6 =(-1)^3 * 3!
fn'(x) =( -1)^{n-1} * (n-1)!*x^{-n} fn'(1) = ( -1)^{n-1} * (n-1)!
Jetzt in Taylor-Formel einsetzen und 3! / 4! = 1/4 … kürzen
ln(x) = 0 + (x-1)^1 - 1/2 *(x-1)^2 + 1/3 *(x-1)^3 - 1/4 *(x-1)^4 - … +( -1)^{n-1} * (n-1)!/n! *(x-1)^n …
allg. kürzen
ln(x) = 0 + (x-1)^1 - 1/2 *(x-1)^2 + 1/3 * (x-1)^3 - 1/4 *(x-1)^4 - … +( -1)^{n-1}/n *(x-1)^n …
Anm: Das Resultat kannst du auf der angegebenen Wikipediaseite überprüfen. Dort findest du auch noch einen Trick uur weiteren Umformung dieser Formel.