Wie kann man hier die Taylor-Reihe und dann den Konvergenzradius bestimmen?

Question

Aufgabe:

Wie kann ich hier die Taylor-Reihe und dann den Konvergenzradius bestimmen?

\(\displaystyle f(x)=x^{5}+2 x^{3}+x, \quad a=2 \)

Comments

Für die Taylorreihe gibt es eine Formel in deinen Unterlagen.

Für den Konvergenzradius ebenfalls.

Was hast du an den Formen nicht verstanden?

Answer 1

\(f(x)=x^{5}+2 x^{3}+x, \quad a=2 \)

==>   \(f ' (x)=5x^{4}+6 x^{2}+1 \)  ==>  f ' (2) = 105

==>  \(f '' (x)=20x^{3}+12 x \)  ==>  f '' (2) = 184

==>  \(f '''(x)=60x^{2}+12  \)  ==>  f ''' (2) = 252

==>  \(f^{(4)}(x)=120x \)  ==>  f ⁽⁴⁾ (2) = 240

==>  \(f^{(5)}(x)=120  \)  ==>  f ⁽⁵⁾ (2) = 120

Alle weiteren Ableitungen immer gleich 0.

Also ist die Taylorreihe auch nur ein Polynom, nämlich

T(x)=\(   \sum\limits_{k=0}^5  \frac{f^{(k)}(2)}{k!}(x-2)^k \)

\(  = 50+105\cdot(x-2)+\frac{184}{2}(x-2)^2+\frac{252}{6}(x-2)^3+\frac{240}{24}(x-2)^4+\frac{120}{120}(x-2)^5 \)

\(  = 50+105\cdot(x-2)+92(x-2)^2+42(x-2)^3+10(x-2)^4+(x-2)^5 \)

Und zur Probe kannst du alle Klammern auflösen und

zusammenfassen zu  \(x^{5}+2 x^{3}+x \) ✓

Konvergiert also auf ganz ℝ.