Nullstellen eines Gradienten grad(x,y)

Question

Hallo ich stehe bei folgender Aufgabe auf dem Schlauch:


Ich soll die Nullstellen des Grad von f bestimmen, wobei


f(x,y) = cos(x)*cos(y)


demnach ist der Gradient: (-sin(x)*cos(y),-cos(x)*sin(y)) richtig?

Wie kann ich nun die Nullstellen berechnen?

Einfach 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten wird schwer, da ich ja dann habe:


(1) -sin(x)*cos(y)=0

(2) -cos(x)*sin(y)=0


Kann mir jemand weiterhelfen?

Answer 1

Ja der Gradient ist richtig

fx' = - SIN(x)·COS(y) = 0

fy' = - COS(x)·SIN(y) = 0

Ein Produkt wird null, wenn ein Faktor null wird.

Nimmt man also bei fx' die Nullstellen von

SIN(x) = 0
x = 0 ± k·pi

Da der COS(x) bei fy' dort nicht null wird braucht man die Nullstellen von

SIN(y) = 0
y = 0 ± k·pi


Nimmt man hingegen bei fx' die Nullstelle von

COS(y) = 0
y = pi/2 ± k·pi

braucht man bei fy' die Nullstellen

COS(x) = 0
x = pi/2 ± k·pi


Damit hat man dann die Nullstellen.

Das Ganze sieht dann in etwa wie folgt aus

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B-SIN%28x%29%C2%B7COS%28y%29%3D0%2C-COS%28x%29%C2%B7SIN%28y%29%3D0%7D