Untersuchen Sie, ob folgende Reihen konvergieren oder divergieren: Bsp. Summe (n^2/2^n) und (n-1)/n

Question

Untersuchen Sie, ob folgende Reihen konvergieren oder divergieren:

1.

$$ \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n } \frac { n + 1 } { n ^ { 2 } } $$

2.

$$ \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { n - 1 } { n } $$

3.

$$ \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { n ^ { 2 } } { 2 ^ { n } } $$

4.

$$ \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n ^ { 3 } } $$

Comments

Das sind Reihen (allenfalls Summenfolgen). Für einen Anfang: Schau mal, was zu Reihen bei den ähnlichen Fragen so vorkommt.

Etwas avancierter ist da: https://www.mathelounge.de/3545/konvergenz-von-summen

Zur Kontrolle/ Diskussion: Bei deinen Beispielen divergiert nur die Summe von (n-1)/n alle andern konvergieren.

Answer 1

Nur mal zur zweiten und zur ersten angegebenen Reihe:

Die Summe von (n-1)/ n konvergiert nicht

Grund: Die Summandenfolge

(n-1) / n = n/n - 1/n = 1 - 1/n

konvergiert gegen 1 , nicht gegen Null.

Deshalb kann die unendliche Summe gar nicht konvergieren.

 

Die erste Reihe ist alternierend und die Beträge der Summanden fallen monoton gegen 0. Deshalb existiert die Summe. Die Reihe konvergiert.

c) und d) konvergieren beide.