Wie lautet die Gleichung der Ellipse durch P(3,-16/5) in Normalform?

Question

(ii) Die halbe Hauptachse einer Ellipse, die durch den Punkt

\( P=\left(3,-\frac{16}{5}\right) \)

geht und deren Mittelpunkt \( \left(x_{m}, y_{m}\right)=(0,0) \) ist, hat den Wert \( a=5 \).

Wie lautet die Gleichung der Ellipse in Normalform?

Answer 1

Die Normalform der Ellipsengleichung in 1. Hauptlage mit Mittelpunkt ( 0 | 0 ) lautet:

( x² / a ² ) + ( y ² / b ² ) = 1

Durch die Aufgabenstellung sind gegeben: 

x = 3 , y = - 16 / 5 , a = 5

Der noch unbekannte Parameter b ² muss nun bestimmt werden. Dazu setzt man die gegebenen Werte in die Ellipsengleichung ein und erhält:

( 9 / 25 ) + 256 / ( 25 b ² ) = 1

Auflösen nach b ² :

<=> 256 / ( 25 b ² ) = 1 - ( 9 / 25 ) = 16 / 25 

Kehrbrüche bilden:

<=> 25 b ² / 256 = 25 / 16

<=> 25 b ² = 256 * 25 / 16 = 400

<=> b ² = 16

 

Also lautet die gesuchte Ellipsengleichung:

( x² / 25 ) + ( y ² / 16 ) = 1

 

Probe

durch Einsetzen des Punktes P ( x | y ) = ( 3 | - 16 / 5 ) in die Gleichung:

( 9 / 25 ) + ( 256 / ( 25 *16 ) )

ausrechnen:

= ( 9 / 25 ) + ( 16 / 25  )

= 25 / 25

= 1