Summenformel für ∑k2 und vollständige Induktion mit Gauß 1+2+3+...+n+n+(n-1)+...+2+1

Question

Aufgabe - Summenformeln und vollständige Induktion:

i) Stellen Sie, wie in der Vorlesung, die Methode des jungen C.F. Gauß dar zum Beweis der folgenden Summenformel

$$\sum \limits_{k=1}^{n} k=\frac{n(n+1)}{2}$$

ii) Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion die Summenformel
$$\sum \limits_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{1}{6} n(2 n+1)(n+1)$$

Aufgabe i habe ich denke ich mal verstanden. Nur wie soll ich bei ii die summenformel mittels vollständiger Induktion beweisen?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Beweisen Sie, dass für alle n ∈ ℕ gilt: … Wie kann man dazu einen Beweis schreiben?

Stichworte: funktion,beweise

Aufgabe:

(i) Beweisen Sie, dass für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt:

$\sum \limits_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}$

(ii) Berechnen Sie $\sum \limits_{k=1}^{n}(2 k-1)^{2}$ für $n \in \mathbb{N}$.

Wie kann man dazu einen Beweis schreiben?

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Siehe hier

https://www.mathelounge.de/133771/summenformel-fur-k-und-vollstandig…

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Vom Duplikat:

Titel: Beweis für eine Summe

Stichworte: summenzeichen,beweise,natürliche-zahlen

Beweis:

für alle n ∈ ℕ gilt:

$$\sum\limits_{k=1}^{n} k^2 = \frac n6(n+1)(2n+1)$$

Wie genau fängt man bei so einem Beweis an?

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Was soll denn bewiesen werden? Wovon soll die rechte Seite der Gleichung der Beweis sein?

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Was soll denn bewiesen werden?

Es soll bewiesen werden, dass die Gleichung, die jetzt(!) oben in der Frage steht, für alle Werte von $n \in \mathbb N$ korrekt ist.

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Das ist eine typische vollständige Induktionsaufgabe !

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Aloha :)

Dazu gab es gestern dieselbe Frage, die ich ausführlich beantwortet habe.

Schau mal bitte hier:

https://www.mathelounge.de/886509/beweisen-sie-dass-alle-gilt-kann-d…

Answer 1

Strikt nach dem Schema der vollst. Induktion:

Induktionsanfang n = 1: $$\sum_{k = 1}^{1} k^2 = 1^2 = 1 = \frac{1}{6} \cdot 1 \cdot ( 2 \cdot 1 + 1 )( 1 + 1 ) = \frac{1}{6} \cdot 3 \cdot 2 = 1$$

Induktionsvoraussetzung: Die Behauptung gelte für ein $n \in \mathbb{ N }$

Induktionsschritt n -> n+1: $$\sum_{k = 1}^{n+1} k^2 = \sum_{k=1}^{n} k^2 + (n+1)^2$$

und nach Induktionsvoraussetzung

$$= \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) + (n+1)^2 = ....... = \frac{1}{6}(n+1)( (n+1) + 1 )( 2(n+1) + 1)$$

Die Umformung bis zum Ergebnis überlasse ich dir.

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

zu i) Den Beweis für die Formel$$\sum\limits_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\eqqcolon A(n)\quad;\quad n\in\mathbb N$$führen wir durch vollständige Induktion über $n$.

Verankerung bei $n=1$

Wir zeigen dass die Behauptung für das kleinst-mögliche $n\in\mathbb N$ richtig ist:$$\sum\limits_{k=1}^nk^2=\sum\limits_{k=1}^1k^2=1^2=1=\frac66=\frac{1\cdot2\cdot3}{6}=\frac{\overbrace{\phantom{(}n\phantom{)}}^{=1}\overbrace{(n+1)}^{=2}\overbrace{(2n+1)}^{=3}}{6}=A(n=1)\quad\checkmark$$

Induktionsschritt von $n$ auf $(n+1)$

Wir gehen nun davon aus, dass die Gültigkeit der Formel $A(n)$ für ein bestimmtes $n$ bereits gezeigt wurde und folgern daraus, dass auch die Formel $A(n+1)$ für das darauf folgende $n$ gilt.

$$\sum\limits_{k=1}^{n+1}k^2=\overbrace{\sum\limits_{k=1}^{n}k^2}^{=A(n)}+(n+1)^2\stackrel{\text{(Ind.Vor.)}}{=}\overbrace{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}^{=A(n)}+(n+1)^2$$$$\phantom{\sum\limits_{k=1}^{n+1}k^2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{6(n+1)^2}{6}=\frac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6}$$Jetzt klammern wir im Zähler den Faktor $(n+1)$ aus:$$\phantom{\sum\limits_{k=1}^{n+1}k^2}=\frac{(n+1)\cdot\left[\;n(2n+1)+6(n+1)\;\right]}{6}=\frac{(n+1)\cdot[\;2n^2+\overbrace{n+6n}^{=7n}+6\;]}{6}$$$$\phantom{\sum\limits_{k=1}^{n+1}k^2}=\frac{(n+1)\cdot[\;2n^2+\overbrace{4n+3n}^{=7n}+6\;]}{6}=\frac{(n+1)\cdot[\;\overbrace{(n+2)\cdot2n}^{=2n^2+4n}+\overbrace{(n+2)\cdot3}^{=3n+6}\;]}{6}$$Jetzt können wir aus der eckigen Klammer $(n+2)$ ausklammern:$$\phantom{\sum\limits_{k=1}^{n+1}k^2}=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}=A(n+1)$$Nach der Verankerung gilt die Formel $A(n)$ für $n=1$. Nach dem Induktionsschritt gilt sie dann auch für $n=2$, nach dem Induktionsschritt gilt sie dann auch für $n=3$, nach dem Induktionsschrit gilt sie dann auch für $n=4$, nach dem... Die Formel gilt also für alle $n\in\mathbb N$.

zu ii) Wenn wir uns die Summe$$\sum\limits_{k=1}^n(2k-1)^2$$genauer ansehen, erkennen wir, dass die Quadrate aller ungeraden Zahlen von $1$ bis $(2n-1)$ addiert werden. Mit Hilfe von (i) können wir diese Summe simulieren, indem wir die Quadratze aller natürlichen Zahlen von $1$ bis $2n$ bestimmen und dann die Summe der Quadrate aller geraden natürlichen Zahlen subtrahieren:$$1^2+3^2+5^2+\cdots(2n-1)^2=\left(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+\cdots+(2n)^2\right)$$$$\phantom{1^2+3^2+5^2+\cdots(2n-1)^2}-\left((2\cdot1)^2+(2\cdot2)^2+(2\cdot3)^2+(2\cdot4)^2+\cdots+(2\cdot n)^2\right)$$Das mit Summenformeln geschrieben sieht so aus:$$\sum\limits_{k=1}^n(2k-1)^2=\sum\limits_{k=1}^{2n}k^2-\sum\limits_{k=1}^n(2k)^2=\sum\limits_{k=1}^{2n}k^2-2^2\cdot\sum\limits_{k=1}^nk^2=A(2n)-4\cdot A(n)$$$$\phantom{\sum\limits_{k=1}^n(2k-1)^2}=\frac{2n(2n+1)(4n+1)}{6}-4\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$$$\phantom{\sum\limits_{k=1}^n(2k-1)^2}=\frac{2n(2n+1)(4n+1)-4n(n+1)(2n+1)}{6}$$$$\phantom{\sum\limits_{k=1}^n(2k-1)^2}=\frac{2(2n+1)(\;n(4n+1)-2n(n+1)\;)}{6}$$$$\phantom{\sum\limits_{k=1}^n(2k-1)^2}=\frac{2(2n+1)(\;4n^2+n-2n^2-2n\;)}{6}=\frac13(2n+1)(2n^2-n)$$$$\phantom{\sum\limits_{k=1}^n(2k-1)^2}=\frac13n(2n+1)(2n-1)=\frac13n(4n^2-1)$$

Comments

Vielen Dank für die ausführliche Antwort :)

Answer 3

$$\sum\limits_{k=1}^{n} k^2 = \frac n6(n+1)(2n+1)$$

Fang an mit der Überprüfung für n=1.

Dann nimm an, das es für ein n∈ℕ gilt,

also für dieses n gilt #$$\sum\limits_{k=1}^{n} k^2 = \frac n6(n+1)(2n+1)$$

Nun führe die Gültigkeit für n+1 auf die für n zurück, etwa so:

$$\sum\limits_{k=1}^{n+1} k^2 =\sum\limits_{k=1}^{n} k^2 + (n+1)^2$$Für die Summe setzt du ein, was bekannt ist aus # und hast

$$= \frac n6(n+1)(2n+1) + (n+1)^2$$

Das vergleichst du mit dem, was deine Formel für n+1 ergeben

würde, also zeige durch geeignete Umformung, dass gilt

$$\frac n6(n+1)(2n+1) + (n+1)^2= \frac {n+1}{6}(n+2)(2(n+1)+1)$$