Matrix auf Orthogonalität und Drehmatrix testen - Drehachse und Drehwinkel berechnen

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Matix
$$ A=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {2} \\ {2} & {1} & {-2} \\ {-2} & {2} & {-1} \end{array}\right) $$

a) Testen Sie ob \( A \) eine orthogonale Matrix und eine Drehmatrix ist.

b) Bestimmen Sie Drehachse und Drehwinkel.

Könnte mir jemand die Lösungswege oder zumindest die Ergebnisse zeigen, damit ich weiß, ob ich richtig liege?

Answer 1

Eine reelle quadratische Matrix heißt orthogonal, wenn das Produkt mit ihrer transponierten Matrix die Einheitsmatrix I ergibt.

https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonale_Matrix

Drehmatrizen sind orthogonale Matrizen mit Determinante +1.

https://de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix

Wie man Dreachse und Drehwinkel bestimmt findest du unter

http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/kurse/kurs10/seite111.html


Probierst du die Aufgabe nun zunächst mal alleine?

Comments

Also auf die orthogonale Matrix zu kommen ist nicht das Problem, würde ich mal behaupten genauso wenig die Entscheidung ob diese Matrix eine Drehmatrix, weil Drehmatrizen orthogonal sind.

https://www.mathelounge.de/116845/drehmatrix-orthogonalitat

 

Das einzige was ich nicht verstehe ist, wie man die Drehachse und Drehwinkel bestimmt. Onlinekursseite die gepostet worden ist, habe ich mir durchgelesen aber ich weiß immer noch nicht, wie ich darauf kommen soll, also ich habe das selbe Problem wie der Fragensteller.

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Lu hatte gerade in einer anderen Aufgabe dieses Beispiel verlinkt
http://peheko.netfast.org/m1303/rot3d/drehungen.htm

Wenn du damit nicht klar kommst bitte nochmals melden.

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Also ich habe mir das jetzt 2 mal durchgelesen und ich weiß echt nicht wie ich das auf die Aufgabe anwenden soll. Tut mir wirklich leid, ich habe auch schon nach Beispielen etc. gesucht die das eventuell irgendwo direkt angewendet haben aber leider nicht fündig geworden das mir weiterhilft.

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1 muss ein Eigenwert sein.

Der zu diesem Eigenwert gehörige Eigenraum ist die Drehachse.
Dabei löst du im Prinzip die Gleichung Ax = x. x ist ein Fixvektor.

Bestimme also z.B. einen Eigenvektor zum Eigenwert 1, um die Achse zu bestimmen.
Ich hoffe, dass dir dann eine Idee kommt, wie du den Drehwinkel bestimmen könntest, da du ja offenbar mit orthogonalen Vektoren kein Problem hast.

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[1/3, 2/3, 2/3; 2/3, 1/3, - 2/3; - 2/3, 2/3, - 1/3]

Du kannst die Eigenwerte/Eigenvektoren bestimmen oder?

k = -0.3333333333 - 0.9428090415·i ∨ k = -0.3333333333 + 0.9428090415·i ∨ k = 1

Eigenvektor zum Eigenwert 1

[1, 1, 0]

Damit ist das dann eindeutig die Drehachse. 

Wenn du jetzt einen Drehwinkel bestimmen wolltest könntest du natürlich einen Vektor nehmen, der zur Drehachse senkrecht ist und schauen um welchen Winkel er sich dreht.

[1/3, 2/3, 2/3; 2/3, 1/3, - 2/3; - 2/3, 2/3, - 1/3]·[0; 0; 1] = [2/3; - 2/3; - 1/3]

COS(α) = [0; 0; 1]·[2/3; - 2/3; - 1/3]/(ABS([0; 0; 1])·ABS([2/3; - 2/3; - 1/3])) = -0.3333333333

Und jetzt darfst du dreimal raten woher mir der wert bekannt vorkommt.

α = ARCCOS(-1/3) = 109.4712206

Der Drehwinkel beträgt 109.5 Grad