matrizen (orthonomalbasis,drehachse)

Question

Gegeben sei die Ebene E := {[x1,x2,x3]t ∈ R3  I 2x1 + 2x2 + x3 = 0 }.
1. Zeigen Sie: b3 := 1 3[1,−2,2]^t ∈ E.

2. Ergänzen Sie b3 zu einer positiv orientierten Orthonormalbasis B := {b1,b2,b3} des R3 mit der Eigenschaft b2 ∈ E.

Überprüfen Sie alle Eigenschaften einer solchen Basis.

3. Stellen Sie den Vektor x := [1−2√3,4+√3,2√3−1]^t in der Basis B dar und geben Sie xB an. Vergewissern Sie sich, daß √3 nur noch in einer Koordinate von xB vorkommt.

4. Drehen Sie den Vektor x um den Winkel π/6 bezüglich der Drehachse b3 in mathematisch positiver Richtung. Überprüfen Sie, daß x und der gedrehte Vektor auch tatsächlich dieselbe Länge haben. ( cos (pi/6) = 1/2 sqrt(3), sin(pi/6)= 1/2  )

also Punkt 1 und 2 habe ich hinbekommen.

aber bei der 4 schaffe ich es leider nicht.

aufgabe 1 war ja einfach nur einsetzen in die Ebene 0 = 0 check^^

aufgabe2 Kreuzproduktbilden und danach die Basis bestimmen und zeigen det(B) > 0 => somit positve Drehung

danach noch zeile mal spalte dann nur noch plus nehmen und in der zweiten reihe war nur ein wurzel.

dann dieses ergebnis als  x= 3 b1 + 3w3b2-3b3

alles cool soweit

Aber die 4 Habe ich nicht hinbekommen

Comments

Kannst Du mal b3 konkretisieren. Was ist genau angegeben?

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Wie meinst du?

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1 3[1,−2,2]t ∈ E

da muss man raten?

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Achso sry

Voll übersehen

1/3

Vielen Dank

Answer 1

Bis wir genaueres zu b3 wissen:

(n1,n2,n3) normierter Achsenvektor der Drehung

\(\scriptsize R_n(a, n1, n2, n3) \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}n1^{2} \; \left(1 - \operatorname{cos} \left( a \right) \right) + \operatorname{cos} \left( a \right)&n1 \; n2 \; \left(1 - \operatorname{cos} \left( a \right) \right) - n3 \; \operatorname{sin} \left( a \right)&n1 \; n3 \; \left(1 - \operatorname{cos} \left( a \right) \right) + n2 \; \operatorname{sin} \left( a \right)\\n2 \; n1 \; \left(1 - \operatorname{cos} \left( a \right) \right) + n3 \; \operatorname{sin} \left( a \right)&n2^{2} \; \left(1 - \operatorname{cos} \left( a \right) \right) + \operatorname{cos} \left( a \right)&n2 \; n3 \; \left(1 - \operatorname{cos} \left( a \right) \right) - n1 \; \operatorname{sin} \left( a \right)\\n3 \; n1 \; \left(1 - \operatorname{cos} \left( a \right) \right) - n2 \; \operatorname{sin} \left( a \right)&n3 \; n2 \; \left(1 - \operatorname{cos} \left( a \right) \right) + n1 \; \operatorname{sin} \left( a \right)&n3^{2} \; \left(1 - \operatorname{cos} \left( a \right) \right) + \operatorname{cos} \left( a \right)\\\end{array}\right)\)

https://www.geogebra.org/m/BpqJ28eP#material/fdmmvvma

also wenn b3=1/3(1,-2,2)^T wäre

\(\small R_{\pi/6} \, :=  \, R_n\left(\frac{\pi }{6}, \frac{1}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{2}{3} \right) \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}\frac{1}{9} \; \left(4 \; \sqrt{3} + 1 \right)&\frac{1}{9} \; \left(\sqrt{3} - 5 \right)&\frac{1}{9} \; \left(-\sqrt{3} - 1 \right)\\\frac{1}{9} \; \left(\sqrt{3} + 1 \right)&\frac{1}{18} \; \left(5 \; \sqrt{3} + 8 \right)&\frac{1}{18} \; \left(4 \; \sqrt{3} - 11 \right)\\\frac{1}{9} \; \left(-\sqrt{3} + 5 \right)&\frac{1}{18} \; \left(4 \; \sqrt{3} - 5 \right)&\frac{1}{18} \; \left(5 \; \sqrt{3} + 8 \right)\\\end{array}\right) \)

εX=x(DeineAufgabe)

\(\small \epsilon X_{pi/6} \, :=  \, R_{\pi/6} \; \epsilon X  =  \, \left( \begin{array}{r}-5\\4\\ 2\\ \end{array} \right) \)

εX_π/6 liegt also in der Ebene E

Comments

Was genau meinst du mit

Ex= x deine Aufgabe

Invertieren?

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Ich habe die Angewohnheit, wenn mehrere Basen im Spiel sind die Zugehörigkeit durch Greek Buchstaben auszudrücken. Da x in der Einheitsbasis angegeben ist heißt er bei mir εX, oder in der Basis b1,b2,b3 geschrieben würde er βX heißen ...

Nur eine Sache der Buchführung :-)

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Alles klar :)

Im buch stand noch

1/2B =

wurzel 3    -1         0                3

1        wurzel 3      0              3wurzel 3

0                 0          2            -3

Was hat er da gemacht?

Weil das ergebnis habt ihr gleich. Nur das buch ha andere zahlen

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Ich nehme an, dass die Dreh-Matrix auf der Basis b1,b2,b3 beruht und eine Achsendrehungen auf die Achse b3 (Drehung um zAchse) beschreibt. In meiner Notation wäre dies  _βR_β βX .

Nachgerechnet hab ich nicht. Auf dem iPad geht Geogebra grad net...

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Kannst du mir bitte noch einmal erklären wie das mit εX= x geht?

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Was soll geht?

Der Vektor x := [1−2√3,4+√3,2√3−1]^T

heißt bei mir εX um deutlich zu machen das die Koordinaten in der Einheitsbasis ε angegeben sind.

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Spalte mal zeile?

Iegwie verstehe ich nicht was ich mschen muss

Kannst du mir den vorgang bitte zeigen.

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Ich hab meine Rechnung oben abgebildet...

Du musst schon konkreter sagen was Sache ist. vorgang - welcher?

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Wie kommt man von der

R:=  zu (-5,4,2)

Was genau rechnet man da

Und danke neben bei :)

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Das sollte oben zu sehen sein:

R (eigentlich besser εR) beschreibt die Drehung an der Achse b3 in Koordinaten der Standardbasis ε - also R x oder mit meinen Variablen εX_π/6 = R εX

Die letzten beiden Zeilen rechnen Deinen Kommentar
"Alles klar" in der b1,b2,b3 Basis

βR_π/6 Drehmatrix für Drehung um z-Achse (b1,b2,b3) Basis

βR_π/6  βX

dazu gehört der x-Vektor in der b1,b2,b3 Basis

der dann auf die Einheitsbasis zurückgeführt wird

εTβ  βR_π/6  βX

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Kannst du mir bitte die erste zeile vorrechnen.

Ich hab den vollen hänger

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Habs hinbekommen:)

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Prima,

Ist das in der Original Aufgabe auch so, dass der Vektor x (εX) gedreht werden soll und dann die Hinweise darauf abzielen  βX zu drehen - also in der Basis B zu rechnen? Was vielleicht einfacher ist?