Partialbruchzerlegung: von x^3 + 6x -20 zu (x-2)(x^2 + 2x + 10)?

Question

Ich habe folgende Funktion gegeben:

\( \frac{8 x+36}{ x^3 + 6 x-20} \)

Und wie das ganze in diese Form bringen:

\( 18 \cdot \frac{x+2}{(x-2)\left(x^{2}+2 x+10\right)} \)

Der Teil über dem Bruchstrich ist klar. Unter dem Bruchstrich allerdings nicht. Zuerst bestimme ich eine Nullstelle durch raten. Das wäre die 2 deswegen -> (x-2). Aber wie komm ich auf den Rest?

Answer 1

Hi,

dahin kommst Du mittels Polynomdivision ;).


(x^3          +  6x  - 20) : (x - 2)  =  x^2 + 2x + 10
-(x^3  - 2x^2)           
————————
        2x^2  +  6x  - 20
      -(2x^2  -  4x)    
———————
                10x  - 20
              -(10x  - 20)
                ————
                        0


Grüße

Comments

Richtig. Polynomdivision oder Horner Schema. Inzwischen bevorzuge ich letzteres. Aber es ist leider nicht so klar darstellbar wie die Polynomdivision.

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Das ging ja schnell.

Ich danke euch.

Wenn ich das ganze mit dem Hornerschema machen möchte, dann rate ich auch erst wieder eine Nullstelle und dann führe ich das Hornerschema durch?

Ich teste das ganze gleich mal ;-)

Vielen Dank für die schnelle Antwort.


Gruß

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Hat funktioniert, dass ich da nicht selbst drauf gekommen bin ;-)

Danke nochmals.

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Freut uns, wenn wir helfen konnten :).

Und was das Hornerschema anbelangt: Habe ich mir nie angeeignet. Komme mit Polynomdivision super zurecht^^.


Perfekt!

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Das Horner Schema sollte wie folgt aussehen

1	0	6	-20
0	2	4	20
1	2	10	0

In der oberen Zeile steht das Polynom 3. Grades und in der unteren dann das Polynom 2. Grades.

Answer 2

Hallo Birsel,

 

auf den Rest kommst Du durch Polynomdivision:

(x³ + 6x - 20) : (x - 2) = x² + 2x + 10

x³ - 2x²

-----------

2x² + 6x

2x² - 4x

----------

10x - 20

10x - 20

-------------

0

 

Wenn Du die Probe machst, wirst Du sehen, dass

(x - 2) * (x² + 2x + 10) = x³ + 6x - 20

gilt.

 

Besten Gruß