Bestimmen einer Taylor-Reihe von f(x):=1/(6-5x). Entwicklungspunkt xo≠6/5.

Question

wie löst man folgende Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion $$f(x)\quad =\quad \frac { 1 }{ 6-5x }$$.

Bestimmen Sie die Taylor-Reihe von f für einen beliebigen Entwicklungspunkt $${ x }_{ 0 }\quad \neq \quad \frac { 6 }{ 5 }$$ und deren Konvergenzradius.

Danke für jede Hilfe :)

Comments

Nobody?? :( :(

Answer 1

Ich beschränke mich auf die Taylorreihe:

Schreiben wir erstmal die Funktion um, damit wir besser ableiten können:

f(x) = (6 - 5x)^-1

Taylorreihenentwicklung an der Stelle xo liegt folgende Vorschrift zugrunde:

T von f(x,xo) = ∑_o⁰⁰ (f⁽ⁿ⁾(xo) *(x - xo)ⁿ)/(n!)

Entwickeln wir die Reihe beispielsweise für vierGlieder, so müssen wir die1, die 2. und die 3. Ableitung an der Stelle xo = 1 ≠ 6/5bilden:

f'(x) = 5(6 - 5x)^-2 -> f'(xo = 1) = 5*(6 - 5*1)^-2 = 5

f''(x) = 50*(6 - 5x)^-3 -> f''(xo = 1) = 50*(6 - 5*1)^-3 = 50

f'''(x) = 750*(6 - 5x)^-4 -> f'''(xo = 1) = 750*(6 - 5*1)^-4 = 750

Zudem ist f(xo = 1) = (6 - 5*1)^-1 = 1

-> T(x) = 1 + 5*(x - 1) + 25*(x -1)² + 125*(x - 1)³ + ... +