Taylor-Reihe um den Entwicklungspunkt 1 bestimmen

Question

Aufgabe:

a) Führen Sie eine Partialbruchzerlegung für die rationale Funktion \( f \) mit
\( f(x)=\frac{x-1}{x^{3}-x^{2}-2 x} \)
durch.
b) Benutzen Sie das Ergebnis aus a), um die Taylor-Reihe von \( f \) um den Entwicklungspunkt 1 zu bestimmen.
c) Wie lautet der Konvergenzradius der Taylor-Reihe?

Problem/Ansatz:

Also bei a) kriege ich

\( \frac{1}{2 x}-\frac{2}{3(x+1)}+\frac{1}{6(x-2)} \) raus

und bei b) habe ich

die erste, zweite, dritte und vierte Ableitung gemacht und kriege

f(1)=0

f'(1)=\( \frac{-1}{2} \)

f''(1)=\( \frac{5}{8} \)

f'''(1)=\( \frac{-15}{4} \)

f''''(1)=\( \frac{15}{2} \) raus. Ab hier komme ich leider nicht weiter

Wie schreibe ich das in die Form

\( T_{f, x_{0}}^{n}(x)=\sum \limits_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}\left(x_{0}\right)}{k !}\left(x-x_{0}\right)^{k} \) um?

Comments

------------

Answer 1

Du brauchst ja irgendwie ne Formel für die Ableitungen an der

Stelle 1.

Die Partialbruchzerlegung kannst du ja auch so schreiben

\( f(x)=  \frac{1}{2 x}-\frac{2}{3(x+1)}+\frac{1}{6(x-2)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}+\frac{-2}{3} \cdot \frac{1}{x+1}+\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x-2}\)

Dann kann man leichter eine Formel für die n-te Ableitung raten:

\( f^{(n)}(x)= \frac{1}{2} \cdot (-1)^n \cdot \frac{n!}{x^{n+1}}+\frac{-2}{3} \cdot (-1)^n \cdot \frac{n!}{(x+1)^{n+1}}+\frac{1}{6} \cdot (-1)^n \cdot \frac{n!}{(x-2)^{n+1}}\)

Und wenn du da x=1 einsetzt, kannst du das noch etwas zusammenfassen und

bekommst eine Formel für f⁽ⁿ⁾(1), die du in die Taylorformel einsetzen kannst.

Answer 2

Hallo,

ich gehe davon aus, dass Du für jeden Summanden einzeln die Taylorentwicklung machen sollst und anschließend kannst Du diese dannn addieren. Alle Summanden haben die Form$$a \cdot \frac 1{x+c}$$den Faktor \(a\) stelle wir zunächst zurück. Wenn man sich nun nur um \(g(x) = \frac 1{x+c}\) kümmert, so ist$$\begin{aligned} g(x) &= \frac 1{x+c} \\ g'(x) &= -\frac 1{(x+c)^2} \\ g''(x) & = \frac 2{(x+c)^3}\\ g'''(x) & = -\frac 6{(x+c)^4} \\ g^k(x) &= (-1)^k \frac {k!}{(x+c)^{k+1}}\end{aligned}$$Einsetzen in die Taylorentwicklung gibt dann$$\begin{aligned}T_{g,1}^n &= \sum_{k=0}^{n} \frac{g^k(1)}{k!} (x+1)^k \\ &= \sum_{k=0}^n (-1)^k\frac{1}{(1+c)^{k+1}}(x-1)^k\end{aligned}$$Und jetzt setzt man für alle drei Summanden die Werte von \(c\) sowie den Faktor \(a\) ein:$$\begin{aligned}T_{f,1}^n &= \sum_{k=0}^n (-1)^k \left( \frac{1}{2} - \frac{2}{3\cdot 2^{k+1}}  + \frac{1}{6\cdot (-1)^{k+1}} \right) (x-1)^k\end{aligned}$$

Comments

Hab Frage(siehe Kommentar bei neuster Frage).

Answer 3

Bekanntlich gilt \(\displaystyle\frac1{1-x}=\sum_{k=0}^\infty x^k\).$$(1)\quad\frac1x=\frac1{1-(1-x)}=\sum_{k=0}^\infty(-1)^k(x-1)^k$$$$(2)\quad\frac1{x+1}=\frac12\cdot\frac1{1-\frac{1-x}2}=\frac12\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\left(\frac12\right)^k(x-1)^k$$$$(3)\quad\frac1{x-2}=-\frac1{1-(x-1)}=-\sum_{k=0}^\infty(x-1)^k$$Damit bestimme die gesuchte Reihe mit der Partialbruchzerlegung aus a).