Regel von de l'Hospital

Question

1)

Die Funktionen ƒ und g seien in einer Umgebung des Punktes x₀ ∈ ℝ n + 1-mal stetig diferenzierbar. Ferner gelte ƒ^(k)(x₀) = g^(k)(x₀) = 0 für 0 ≤ k ≤ n sowie g⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀) ≠ 0. Zeigen Sie:

$$ \lim _{ x\longrightarrow { x }_{ 0 } }{ \frac { f\left( x \right)  }{ g\left( x \right)  } =\frac { { f }^{ (n+1) }{ (x }_{ 0 }) }{ { g }^{ (n+1) }{ (x }_{ 0 }) }  } . $$

 

2)

Mit Hilfe von der 1) zeige man:

$$ \lim _{ x\longrightarrow 0 }{ \frac { \sqrt { 1-x\sinh { x }  } -\cosh { x }  }{ \sin ^{ 2 }{ (\frac { x }{ 2 } ) }  }  }.  $$

Comments

In der 2) soll man den Grenzwert von $$ \lim _{ x\longrightarrow 0 }{ \frac { \sqrt { 1-x\sinh { x }  } -\cosh { x }  }{ \sin ^{ 2 }{ (\frac { x }{ 2 } ) }  }  }.  $$ mit Hilfe der 1) zeigen.

Answer 1

Hmm, es kann sein das ich jetzt völlig falsch liege, aber: 

Comments

Ok, danke schonmal :). Aber muss ich, unter der [...] x₀ ∈ ℝ n + 1-mal stetig diferenzierbar. Ferner gelte ƒ^(k)(x₀) = g^(k)(x₀) = 0 für 0 ≤ k ≤ n sowie g⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀) ≠ 0 [...] Voraussetzung, etwas beim Rechnen beachten?