Was ist ein Vorzeichenwechsel und wie bestimmt man diese bei Funktionen?

Question

Hallo

ich hab mal was von Vorzeichenwechsel gehört und ich frag mich, wie man das bestimmt... das gehört ja auch zur Kurvendiskussion oder nicht?

Answer 1

Hi Emre,

das gibt es in mehrerlei Bedeutung.

1. Bei Polstellen. Wenn Du eine ungerade Vielfachheit der Nullstelle hast, dann hast Du einen Vorzeichenwechsel. Einmal strebst Du nach ∞ einmal nach -∞.

 

2. Auch oft genutzt wird es als Bedingung für die Untersuchung von Extrema und Wendepunkten.

Schau dazu hier rein.

 

Grüße

(P.S.: Erstmal unterwegs)

Comments

Gerne ;)    .

Answer 2

Hallo emre,

  unter Vorzeichenwechsel versteht den Wechsel des Vorzeichens des
Funktionswerts  an einer bestimmten x-Stelle.

  ( + nach - ) oder (  - nach + )

In den meisten Fällen : der Graph schneidet die x-Achse
und wechselt
f ( x ) > 0 nach f ( x ) < 0
oder
f ( x ) < 0 nach f ( x ) > 0

Bei Polsstellen kann der Funktionswert von
- ∞ nach + ∞
oder
+ ∞ nach - ∞
wechseln ohne das die x-Achse geschnitten wird.

mfg Georg

Comments

Hallo liebe Mathefreunde.

Je länger ich über diese Frage nachdenke, desto weniger weiß ich es. Könnte mir bitte jemand sagen, welche der folgenden Funktionen einen Vorzeichenwechsel an der Stelle 0 haben? Bitte mit Begründung.

f(x) = x-1, falls x≠0 und f(x)=2 falls x=0

g(x)=x-1, falls x<0 und g(x)=x+1 falls x≥0

h(x)=sin(1/x), falls x≠0 und h(x)=0 falls x=0

i(x)=cos(1/x), falls x≠0 und i(x)=0 falls x=0

j(x)=x²·sin(1/x²), falls x<0 und j(x)=x²·sin(1/x) falls x>0

, Johanna.

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Hallo Johanna,

so ganz verstehe ich deine Fragen nicht

Beispiel
f ( x ) = x -1, falls x≠0
und
f ( x ) =2 falls x=0
Sind dies 2 verschiedene Funktionen ?

f ( x ) = x - 1
f ( x ) > 0 :
x-1 > 0
x > 1
f ( x ) < 0 :
x - 1 < 0
x < 1
Das Vorzeichen des Funktionswerts f ( x )
wechselt an der Stelle x = 1 von negativ
zu positiv.
Der Graph schneidet die x-Achse bei x =1.
Was soll dein Zusatz  " falls x≠0 " bedeuten ?

Was bedeutet die 2.Funktion ?
f ( x ) = 2 ?
Der Graph ist eine Parallele zur x-Achse
in der Höhe von f ( x ) = y = 2.
Wo sind bei dir Unklarheiten ?
Helfe gern weiter.
mfg Georg

Nachtrag :
So langsam dämmert es mir.
Dies sind gesplittete Funktionen.
Eine schnelle Antwort wäre.
linksseitigen Grenzwert
Funktionswert x = 0
rechtsseitigen Grenzwert
berechnen und danach urteilen.
Das mache ich einmal.

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Hallo Georgborn,

es soll sich um fünf abschnittsweise definierte Funktionen handeln.

Dass f an der Stelle 1 einen Vorzeichenwechsel hat, ist mir klar. Mir geht es bei allen fünf Funktionen um die Stelle x₀=0.

Lieben Gruß, Johanna

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So langsam dämmert es mir.
Dies sind gesplittete Funktionen.
Eine schnelle Antwort wäre.
linksseitigen Grenzwert
Funktionswert x = 0
rechtsseitigen Grenzwert
berechnen und danach urteilen.
Das mache ich einmal.
mfg Georg

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h(x)=sin(1/x), falls x≠0 und h(x)=0 falls x=0
i(x)=cos(1/x), falls x≠0 und i(x)=0 falls x=0
j(x)=x²·sin(1/x²), falls x<0 und j(x)=x²·sin(1/x) falls x>0

Bei diesen 3 Funktion ergibt
lim x - > 0  von 1/x  = unendlich
der sin oder cos von plus/minus unendlich ist
nicht definiert. sin/cos oszilliert zwischen -1 und 1.
Die letzte Funktion j ist zudem für x = 0 nicht definiert
( Schreibfehler ? )

f(x) = x-1, falls x≠0 und f(x)=2 falls x=0
-1  | 2  |  -1
g(x)=x-1, falls x<0 und g(x)=x+1 falls x≥0
-1  | 1  | 1

Üblicherweise würde ich sagen es findet ein
Vorzeichenwechsel statt.

mfg Georg

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Danke Georg, für deine Antworten.

h und i sind ja für x=0 separat definiert, sie sind allerdings bei x=0 unstetig. Darüberhinaus ist h symmetrisch zum Nullpunkt.

Wenn du schreibst, dass es Polstellen mit Vorzeichenwechsel gibt, dann kann doch offenbar ein Vorzeichenwechsel an einer Stelle vorliegen, an der die Funktion gar nicht definiert ist, oder? Deshalb habe ich j für x=0 mal undefiniert gelassen (kein Schreibfehler). Allerdings ist j durch die zusätzliche Definition j(0)=0 stetig ergänzbar.

Leider bin ich, was diese drei Funktionen angeht, jetzt so schlau wie vorher.

Liebe Grüße von Johanna

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Ich beziehe auf die Funktionen h bis j.
Hier betrachte ich den links- bzw. rechtseitigen Grenzwert.
Zunächst :
lim x -> 0^-   für 1 /x. Dieser ist  - ∞
lim x -> 0⁺   für 1 /x. Dieser ist  +∞

Stelle dir bitte die sin bzw. cos Kurve vor.
Die sin / cos Kurve schwankt zwischen -1 und 1.
Es gibt für sin ( - ∞ ) oder cos ( + ∞ ) keinen Wert..

Für lim x -> 0   für sin ( 1 /x ) ergibt sich kein Wert.
Oder
alle Werte zwischen -1 und 1 sind möglich.
Ein Vergleich mit dem Wert 0 ist nicht möglich.
mfg Georg

 

 

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(* Scherzmodus an *)
Hallo Johanna,
Ich mache dir einen Vorschlag :
Du sagst mir den genauen Wert von π
und ich sage dir  ob die Funktionen h bis j
an der Stelle x = 0 einen Vorzeichenwechsel
( Ja / nein Antwort ) haben.
mfg Georg
(* Scherzmodus aus *)