Flächen-und Integralrechnung (Differenz-und Stammfunktion bestimmen)

Question

In einem Freizeitpark soll ein neuer Spielplatz für Kleinkinder angelegt werden. Das dafür vorgesehene Areal hat einen Fläche von 60 Meter × 150 Meter. Innerhalb des Areals soll eine Märchenlandschaft gestaltet werden, die durch die Funktionen

f(x)  = − 0,2x² +10 + 30 sowie

g(x) = 0,05x² −5x + 155  begrenzt wird. 

 

a) Berechnung der Gesamtfläche der Spiellandschaft 

b) Berechnung der Fläche von der Märchenlandschaft

 

a) Spiellandschaft (Fläche) _gesamt = 60×150 = 9000m² 

 

b) 1. Schritt: Aufstellen der Differenzfunktion ====> f_diff(x) = g(x)−h(x)

     f_diff(x) = −0,25x² + 5x + 185         | ÷(−0,25)

                =          x² − 20x − 740

 

     2. Schritt: Nullstellen der Differenzfunktion, als Integrationsgrenzen  ====> f_diff(x) = 0

     0         = x² − 20x

     0         = x₁

     0         = x² − 20         | +20

     20       = x²                  | √

     ±4,47 = x_2/3

 

     3. Schritt: Festlegen der Intervalle 

              [−4,47;0]   und   [0;4,47]

 

     4. Schritt: f_diff(x) in die Stammfunktion F_diff(x) aufleiten

      f_diff(x)  = x² − 20x − 740

      F_diff(x) = 1/4x³ − 10x²

 

     5. Schritt: Flächen berechnen ====> Integralrechnung

     Ⅰ ₁ = [1/4x³ + 10x²] ⁰_−4,47 

     Ⅰ _{2 =} [1/4x³ + 10x²] ^4,47₀    

     Ⅰ _gesamt = Ⅰ ₁ + Ⅰ ₂ 

 

Frage: Bevor ich die Bestimmung von Ⅰ _gesamt anfangen wollte, möchte ich gerne wissen, ob bei Aufgabe b) alle einzelnen vorgenommenen Schritte meinerseits korrekt berechnet worden sind ?!

Falls nein, dann bitte mir den vollständigen Lösungsweg, anhand der 5 Schritte, aufzeigen.

Answer 1

f(x)  = − 0,2x² +10 + 30 sowie
g(x) = 0,05x² −5x + 155  begrenzt wird. 

b) 1. Schritt: Aufstellen der Differenzfunktion ====> f_diff(x) = g(x)−h(x)

g - h ??? . Die Ausgangsfunktionen hießen f und g

In f (x)  heißt es sicherlich anstelle
f(x)  = − 0,2x² +10 + 30
sondern
f(x)  = − 0,2x² +10x + 30

Berechnen wir einmal  f - g
f diff ( x ) = -0.2 x^2 - 0.05 x^2 + 10x + 5x + 30 - 155
f diff ( x ) = -0.25 x^2 + 15x  - 125

Bevor weiter gerechnet wird bitte einmal überprüfen.

mfg Georg

Comments

Georg, meine Berechnung bei Aufgabe b) Schritt 1 ist richtig, aber wie du schon richtig erkannt hast, heißt es natürlich f_diff(x) = f(x)−g(x) und auch an der einen Stelle f(x)  = − 0,2x² +10x + 30. 

Trotzdem muss dennoch alles bei Schritt 1 richtig sein, sonst verstehe ich die Welt nicht mehr. :D

Das Werkzeug  f_diff(x) = g(x)−h(x) oder wie hier f_diff(x) = f(x)−g(x) wurde mir in der Schule so beigebracht. Schließlich geht es hier um die Berechnung von Flächen zwischen Funktionsgraphen und findet dort Anwendung.

---

So müsste nach meinen Erkenntnissen  f(x)−g(x) korrekt aussehen:

− 0,2x² +10x + 30 (−0,05x² −5x + 155)

 

f_diff(x)    = −0,25x² + 5x + 185         | ÷(−0,25)

               =          x² − 20x − 740

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hmm, nein.

− 0,2x² +10x + 30 - (0,05x² −5x + 155) = -0,25x² + 15x -125

-> x² - 60x + 500

---

So müsste nach meinen Erkenntnissen  f(x)−g(x) korrekt aussehen:
− 0,2x² +10x + 30 (−0,05x² −5x + 155)

Was soll das für ein Term sein?
Nach den ersten 3 Summanden steht keine Rechenoperation
sondern ein geklammerter Ausdruck. Das ganze ist kein
mathematisch korrekter Term. Richtig ist
− 0,2x² +10x + 30  - ( 0,05x² −5x + 155)  | Klammer auflösen
− 0,2x² +10x + 30  −0,05x² + 5x - 155  | zusammenfassen
- 0.25 x^2 + 15 x - 125
@Bepprich und @Ahnungsloser
Wie kommt Ihr jetzt darauf den Term durch -0.25 teilen
zu wollen ? Meiner unmaßgeblichen Meinung nach entsteht
ein anderer Term. Oder?
Weitere Schritte :
Schnittpunkte feststellen und Stammfunktion ermitteln.
Ich erwarte Reaktionen.
mfg Georg

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1. Schritt: Aufstellen der Differenzfunktion ====> f_diff(x) = f(x)−g(x)

− 0,2x² +10x + 30 − (0,05x² −5x + 155)        | Auflösen der Klammern

− 0,2x² +10x + 30 −0,05x² −5x − 155            |  − 0,05x² ; − 5x ; + 30

− 0,25x² + 15x  - 125                                        | ÷(−0,25) 

 f_diff(x) = x² − 60x + 500

 

2. Schritt: Nullstellen der Differenzfunktion, als Integrationsgrenzen  ====> f_diff(x) = 0

     0         = x² − 60x

     0         = x₁

     0         = x² − 60         | +60

     60       = x²                  | √

     ±7,75 = x_2/3

 

3. Schritt: Festlegen der Intervalle 

         [−7,75;0]   und   [0;7,75]

 

5. Schritt: Flächen berechnen ====> Integralrechnung

     Ⅰ ₁ = [1/4x³ + 30x²] ⁰_−7,75

     Ⅰ _{2 =} [1/4x³ + 30x²] ^7,75₀    

     Ⅰ _gesamt = Ⅰ ₁ + Ⅰ ₂ 

---

ja war ein bisschen unsauber in heißer Vorahnung, die Nullstellen (Integrationsgrenzen) berechnen zu wollen.

@Ahnungsloser

 f_diff(x) = x² − 60x + 500

2. Schritt: Nullstellen der Differenzfunktion, als Integrationsgrenzen  ====> f_diff(x) = 0

     0         = x² − 60x

wo sind die + 500 geblieben ?

---

in der Aufgabenstellung steht 60 m x 150 m Grundfläche
die blaue Funktion ist max 155 m und geht
somit über die 150 m hinaus.
Richtig / Falsch ??

 

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1. Schritt: Aufstellen der Differenzfunktion ====> f_diff(x) = f(x)−g(x)

− 0,2x² +10x + 30 − (0,05x² −5x + 155)        | Auflösen der Klammern

− 0,2x² +10x + 30 −0,05x² −5x − 155            |  − 0,05x² ; − 5x ; + 30

− 0,25x² + 15x  - 125                                        | ÷(−0,25) 

 f_diff(x) = x² − 60x + 500

 

2. Schritt: Nullstellen der Differenzfunktion, als Integrationsgrenzen  ====> f_diff(x) = 0

     0         = x² − 60x

     0         = x₁

     0         = x² − 60         | +60

     60       = x²                  | √

     ±7,75 = x_2/3

 

3. Schritt: Festlegen der Intervalle 

         [−7,75;0]   und   [0;7,75]

 

4. Schritt: f_diff(x) in die Stammfunktion F_diff(x) aufleiten

f_diff(x) = x² − 60x + 500

F_diff(x) = 1/4x³ + 30x²

 

5. Schritt: Flächen berechnen ====> Integralrechnung

     Ⅰ ₁ = [1/4x³ + 30x²] ⁰_−7,75

     Ⅰ _{2 =} [1/4x³ + 30x²] ^7,75₀    

     Ⅰ _gesamt = Ⅰ ₁ + Ⅰ ₂ 

---

1. Schritt: Aufstellen der Differenzfunktion ====> f_diff(x) = f(x)−g(x)

− 0,2x² +10x + 30 − (0,05x² −5x + 155)        | Auflösen der Klammern

− 0,2x² +10x + 30 −0,05x² −5x − 155            |  − 0,05x² ; − 5x ; + 30

− 0,25x² + 15x  - 125                                        | ÷(−0,25) 

 f_diff(x) = x² − 60x + 500

 

2. Schritt: Nullstellen der Differenzfunktion, als Integrationsgrenzen  ====> f_diff(x) = 0

     0         = x² − 60x

     0         = x₁

     0         = x² − 60         | +60

     60       = x²                  | √

     ±7,75 = x_2/3

 

3. Schritt: Festlegen der Intervalle 

         [−7,75;0]   und   [0;7,75]

 

4. Schritt: f_diff(x) in die Stammfunktion F_diff(x) aufleiten

f_diff(x) = x² − 60x + 500

F_diff(x) = 1/4x³ − 30x²

 

5. Schritt: Flächen berechnen ====> Integralrechnung

     Ⅰ ₁ = [1/4x³ − 30x²] ⁰_−7,75

     Ⅰ _{2 =} [1/4x³ − 30x²] ^7,75₀    

     Ⅰ _gesamt = Ⅰ ₁ + Ⅰ ₂ 

 

@Bepprich und Georg Born                Ist es jetzt richtig meinerseits berechnet worden ?!

---

− 0,2x² +10x + 30 − (0,05x² −5x + 155)        | Auflösen der Klammern
nach dem Auflösen der Klammer muß es
− 0,2x² +10x + 30 −0,05x² +5x − 155     heißen
− 0,25x² + 15x  - 125             
Wie kommst du jetzt darauf diese Funktion durch -0.25 teilen zu dürfen ?
ich schlage vor wir bleiben bei

 f_diff(x) = − 0,25x² + 15x  - 125            

Jetzt könnte es mir dämmern. Du willst die Schnittstellen über
die quadratische Ergänzung berechnen !
− 0,25x² + 15x  - 125  = 0  | : -0.25
x^2 - 60 x + 500 = 0
x^2 - 60 x + 30^2 = -500 + 900
( x - 30 )^2 = 400
x - 30 = ±√ 400        
x = 50.00 m
x = 10.00 m

---

In der Aufgabenstellung steht 60 m x 150 m Grundfläche 
die blaue Funktion ist max 155 m und geht 
somit über die 150 m hinaus. 
Richtig / Falsch ? 

Die Annahme müsste richtig sein. Die Lösung für Aufgabe a): Spiellandschaft (Fläche) _gesamt = 9000m²

---

 f_diff(x) = − 0,25x² + 15x  - 125        
Stammfunktion bilden
S ( x ) = -0.25 * x^3 / 3 + 15 * x^2 / 2 - 125 * x
A ( x ) = S ( 50 ) - S ( 10 )
A ( x ) = 2666  2/3  m^2
( dies sagt mein Matheprogramm )

Bin gern weiter behilflich

@ahnungloser
An den Schwierigkeiten und Problemen die sich beim
Aufgabenlösen ergeben lernt man am meisten.

mfg Georg

Nachtrag : es bleibt aber noch die Frage ;
Die Funktion f geht über 150 m hinaus.
Ist das so gewollt ? Ist das Richtig ?
Ganz genau müßte man die Fläche
außerhalb dann abziehen.

---

1. Schritt: Aufstellen der Differenzfunktion ====> f_diff(x) = f(x)−g(x)

− 0,2x² +10x + 30 − (0,05x² −5x + 155)        | Auflösen der Klammern

− 0,2x² +10x + 30 −0,05x² +5x − 155            |  − 0,05x² ; +5x ; + 30

− 0,25x² + 15x  - 125                                        | ÷(−0,25) 

 f_diff(x) = x² − 60x + 500

 

2. Schritt: Nullstellen der Differenzfunktion, als Integrationsgrenzen  ====> f_diff(x) = 0

     0         = x² − 60x

     0         = x₁

     0         = x² − 60         | +60

     60       = x²                  | √

     ±7,75 = x_2/3

 

3. Schritt: Festlegen der Intervalle 

         [−7,75;0]   und   [0;7,75]

 

4. Schritt: f_diff(x) in die Stammfunktion F_diff(x) aufleiten

f_diff(x) = x² − 60x + 500

F_diff(x) = 1/4x³ − 30x²

 

5. Schritt: Flächen berechnen ====> Integralrechnung

     Ⅰ ₁ = [1/4x³ − 30x²] ⁰_−7,75

     Ⅰ _{2 =} [1/4x³ − 30x²] ^7,75₀    

     Ⅰ _gesamt = Ⅰ ₁ + Ⅰ ₂ 

Dein Ergebnis 2666  2/3  m² ist richtig.

Welches Ergebnis kommt denn bei meiner Berechnung der Integrale raus ? Ⅰ _gesamt = Ⅰ ₁ + Ⅰ ₂ 

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@ahungsloser
Du rechnest zu viel.

Wir nehmen jetzt einmal meinen Kommentar mit +5x
und den folgenden Kommentar.
Diese beiden Kommentare enthalten meinen
kompletten Lösungsweg.
Sag mir bitte ob du den Lösungsweg nachvollziehen
kannst oder wo du Fragen hast.

mfg Georg
 

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Zum 2. Mal: 

In der Aufgabenstellung steht 60 m x 150 m Grundfläche  

Die blaue Funktion ist max 155 m und geht somit über die 150 m hinaus.  
Richtig / Falsch ? 

Die Annahme müsste richtig sein. Die Lösung für Aufgabe a): Spiellandschaft (Fläche) _gesamt = 9000m²

 

zu Aufgabe b)

Ⅰ ₁ = [1/4x³ − 30x²] ⁰_−7,75

Ⅰ _{2 =} [1/4x³ − 30x²] ^7,75₀    

Ⅰ _gesamt = Ⅰ ₁ + Ⅰ ₂ 

Dein Ergebnis 2666,6666666667 m²  ist richtig (habe die Lösung vorliegen).

 

Welches Ergebnis kommt denn bei meiner Berechnung der Integrale raus ? Ⅰ _gesamt = Ⅰ ₁ + Ⅰ ₂ 

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Deine Differenzfunktion ist falsch.
Die Integrationsgrenzen sind falsch.
Die Bildung der Stammfunktion ist falsch.

Wie kommst du von der Funktion

fdiff(x) = x^2 − 60x + 500
auf die Stammfunktion
Fdiff(x) = 1/4x^3 − 30x^2 ???
Wenn ich diese wieder ableite ( als Probe ) erhalte ich
[ 1/4x^3 − 30x^2 ] ´
1/4 * 3 * x^2 - 30 * 2 * x
Diese Funktion unterscheidet sich von der Ausgangsfunktion
x^2 − 60x + 500 erheblich.
Ich schlage vor du versuchst meinen Lösungsweg
nachzuvollziehen.
Bei Fragen wieder melden.
mfg Georg

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Was würde denn abgesehen davon, ob alles davor falsch war, bei der folgenden Rechnung rauskommen ?!

Bitte mir die einzelnen Schritte der Integralrechnung veranschaulichen. 

Ⅰ ₁ = [1/4x³ − 30x²] ⁰_−7,75

Ⅰ _{2 =} [1/4x³ − 30x²] ^7,75₀    

Ⅰ _gesamt = Ⅰ ₁ + Ⅰ ₂ 

 

Zudem verstehe ich deinen Lösungsweg überhaupt nicht; dein Ergebnis ist richtig.

f_diff(x) = − 0,25x² + 15x  - 125   (bis dahin verstanden)    
Stammfunktion bilden 
S ( x ) = -0.25 * x³ / 3 + 15 * x² / 2 - 125 * x 
A ( x ) = S ( 50 ) - S ( 10 )                                 ====> Vor allem das nicht nachvollziehbar.
A ( x ) = 2666  2/3  m

Bitte ausführlich diesen Lösungsweg aufzeigen.

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Weitere Hilfestellungen stehen noch aus. :)

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Du bist hier im Forum um anhand der Aufgabe deine
mathematishen Fähigkeiten zu verbessern.
Dazu will ich dich gern unterstützen.
Wir müssen aber ein Schema haben an dem
wir uns orientieren.

Deshalb zunächst deine Frage ( außerhalb der richtigen  Lösung )
 welcher Wert ergibt sich :
 Ⅰ ₁ = [1/4x³ − 30x²] ⁰_−7,75
 Ⅰ ₁ =  I ( 0 ) - I ( -7.75 )
  I 1 = 1/4 * 0^3 - 30 * 0^2 - [ 1/4 * (-7.75)^3 - 30 * (-7.75)^2 ]
  I 1 = - [ -116.37 - 1801.875 ]
  I 1 = - [ -1918.245 ]
  I 1 = 1918.245
 

  So nun zu deiner Verständnis-Frage
  f_diff(x) = − 0,25x² + 15x  - 125   (bis dahin verstanden)    
  Stammfunktion bilden 
S ( x ) = -0.25 * x³ / 3 + 15 * x² / 2 - 125 * x 
( eine Ableitung der Stammfunktion würde wieder die Ausgangsfunktion ergeben.
  Das wäre die Probe ob die Stammfunktion richtig gebildet wurde )

A ( x ) = S ( 50 ) - S ( 10 )                                 ====> Vor allem das nicht nachvollziehbar.
Eine Integralfunktion ist die Stammfunktion am Integrationsende
minus der Stammfunktion am Integrationsbeginn
A für Fläche
A = Stammfunktion bei 50 minus Stammfunktion bei 10.
Eleganter kann man auch schreiben
A = [ -0.25 * x³ / 3 + 15 * x² / 2 - 125 * x ] ₁₀⁵⁰
A = 2666  2/3  m

Bei Fragen wieder melden.
Bin wie gesagt gern bereit die Frage komplett
durchzugehen bis du alles verstanden hast.

mfg Georg

 

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war beim Abendessen.

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Georg, kein Problem, denn jeder hat ein reales Leben oder sollte eines haben. :)

In der Regel bin ich auch mit dem Forum über den Lernziel hinaus, bisher und immer noch sehr zufrieden gewesen. Außerdem brauche ich mich jetzt nicht mehr für einige Zeit mit der Materie Mathematik beschäftigen, da ich heute offiziell mein Fach-Abitur (Wirtschaft und Verwaltung) erlang.

Trotzdem bleibe ich diesem Forum gerne treu, da es mich ein "wenig" für Mathe an sich begeistern konnte, obwohl ich in diesem Fach bei meinem Abschlussjahr miserable Leistungen vollbracht hatte.

Da wir das hier sinnvoll beenden wollen und du auch dann verdienterweise "Beste Antwort" zuzüglich Pluspunkt von meiner Seite bekommen sollst, ist mitzuteilen, dass ich soweit alles verstanden und doch noch eine Frage habe.

"A ( x ) = S ( 50 ) - S ( 10 )                            

Eine Integralfunktion ist die Stammfunktion am Integrationsende 

minus der Stammfunktion am Integrationsbeginn 

A steht für Fläche 
A = Stammfunktion bei 50 minus Stammfunktion bei 10."

 

Kannst du bitte diesen Teil der Rechnung, "aufgabenbezogen" und etwas genauer hinlänglich der Werte S(50) und S(10) herleiten und wie diese schlussendlich zu Stande kommen erläutern ?! :)

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Meinen Glückwunsch zum Fachabitur.

S ( x ) = -0.25 * x³ / 3 + 15 * x² / 2 - 125 * x

S ( 50 ) = -0.25 * 50^3 / 3 + 15 * 50^2 / 2 - 125 * 50
S ( 50) = -10416.6666 + 18750 - 6250
S ( 50 ) = 2083.33

S ( 10 ) = -0.25 * 10^3 / 3 + 15 * 10^2 / 2 - 125 * 10
S ( 10 ) = -83.33 + 750 - 1250
S ( 10 ) = - 583.33

A = S ( 50 ) - S ( 10 )
A = 2083.33 - ( - 583.33 )
A = 2666.66

mfg Georg

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Danke. :)

Und wie hast du jetzt die 10 und die 50 vorher ermitteln können ?

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Dies ist in diesem Thread auch schon hergeleitet worden.
Nach meiner Skizze folgen 2 Kommentare von dir.
Dann kommt mein Kommentar mit der Bestimmung von
50 und 10.

So das war mein letzter Kommentar.

Georg