Regel für Differenzfunktion bei der Integralrechnung

Question

Ich stelle grad meine Formelsammlung zusammen und stehe vor folgendem Problem:

Zwei Funktionen:
f(x)=x^2-6
g(x)=-x^2+6

Bilden möchte ich das Integral der eingeschlossenen Fläche aus beiden Graphen.

Schnittpunkte sind x_n1=wurzel(6) und x_n2=-wurzel(6).

Ich habe nun ausprobiert:
integral(f(x)) von x_n1 bis xn_2 = 19,59592
integral(g(x)) von x_n1 bis x_n2 = |-19,59592|

Integral(f(x)-g(x)) von x_n1 bis x_n2 ergibt 38,191836 (was auch korrekt ist)

Integral(g(x)-f(x)) von x_n1 bis x_n2 ergibt 58,787754

Da ich ja nun f(x) und g(x) frei definieren kann, woran kann ich festmachen, welche Funktion ich von der anderen abziehen muss (also f(x)-g(x) oder g(x)-f(x)).

Ich hab weder im Papula noch im Internet dazu was eindeutiges gefunden.

Kann mir da wer mit einer Regel dienen?

Answer 1

Wir ziehen die untere Funktion in diesen Bereich von der obere Funktion ab.

Entweder sehen wir von den Graphen welche die obere und welche die untere Funktion ist, oder wir benutzen die Betragsfunktion |f(x)-g(x)|.

Answer 2

Die Fläche zwischen zwei Graphen mit den Funktionstermen f(x) und g(x) von Schnittpunkt (x₁;y₁) zu benachbartem Schnittpunkt (x₂;y₂) ist gleich dem Betrag des Integrals des Differenzterms f(x)-g(x) in den Grenzen von x₁ bis x₂.

Answer 3

Du hast einen Rechenfehler bei

Integral(g(x)-f(x)) von x_n1 bis x_n2 ergibt 58,787754

Prinzipiell kannst du die Differenzfunktion
beliebig definieren. Der Einfachheithalber und falls
die Grafik vorliegt zieht man die untere Funktion
von der oberen ab.

Flächen werden als > 0 angesehen.

Kommt ein negativer Wert heraus nimmst
du den Betrag

Fläche = | Ergebnis  |

mfg Georg

Comments

Flächenberechnung zwischen 2 Funktion
1.- Schnittpunkte ermitteln
2. Differenzfunktion bilden
3. Stammfunktion bilden
4. Vom kleinsten bis zum größten
Schnittpunkt von Schnittpunkt zu Schnitt-
punkt die Flächen berechnen.
5.Alle Flächen absolut setzen und addieren.

Manchmal gibt es auch keine Schnittpunkte und
in der Fragetsellung ist ein Intervall angegeben
zwischen [ a ; b ]

Answer 4

Aber sei vorsichtig mit dieser Regel.

Wenn es mehr als 2 Schnittpunkte gibt,

dann kann ja mal der eine und mal der andere Graph

der obere sein. Dann musst du die

Integrale immer von einem Schnittpunkt zum

nächsten einzeln rechnen.

Comments

hallo mathef,
ich habe die Berechnungsweise nocheinmal
bei mir zusammengefaßt.
mfg Georg

Answer 5

es ist egal, welche Funktion du von der anderen abziehst, weil man zusätzlich den Betrag nimmt:

$$ A=\int_{a}^{b}|f(x)-g(x)|dx $$

Dann werden alle Flächen positiv gewertet.