Differenzfunktion Aufgabe

Question

Aufgabe:

g(x) = x^3           h(x)=1                     [0;2]

Problem/Ansatz:

Bei der Differenzfunktion komme ich auf x^3 - 1 und auf die Endlösung 2.

Laut meiner Lehrerin müsste aber 3,5 herauskommen.

Kann mir jemand bitte den Rechenweg erläutern?

Vielen Dank im Voraus.

Beste Grüße

Answer 1

Aloha :)

Ich vermute, du sollst die Fläche zwischen den beiden Funktionen im Intervall \([0;2]\) berechnen. Du hast übersehen, dass sich die beiden Funktionen in dem Intervall kreuzen und dadurch nicht die Fläche, sondern das Integral der Differenzfunktion bestimmt. Da die Differenzfunktion für \(x\in[0;1[\) negativ ist, erhältst du ein zu kleines Ergebnis.$$x^3-1=0\quad\Leftrightarrow\quad x=1$$Du hast gerechnet:$$I=\int\limits_0^2(x^3-1)dx=\left[\frac{x^4}{4}-x\right]_0^2=2$$

Richtig wäre aber:

$$F=\left|\int\limits_0^1(x^3-1)dx\right|+\left|\int\limits_1^2(x^3-1)dx\right|=\left|\left[\frac{x^4}{4}-x\right]_0^1\right|+\left|\left[\frac{x^4}{4}-x\right]_1^2\right|$$$$\phantom{F}=\left|-\frac{3}{4}\right|+\left|\frac{11}{4}\right|=\frac{14}{4}=\frac{7}{2}=3,5$$

~plot~ x^3-1 ; [[0|2,|-2|5]] ~plot~

Answer 2

Hier soll wohl die Fläche zwischen 2 Graphen ermittelt werden

Formel A=Integral(f(x)-g(x)

f(x)=obere Begrenzung

g(x)=untere Begrenzung

Hinweis:f(x) und g(x) dürfen sich nicht im Integrationsintervall  abwechseln

1) eine Zeichnung machen

2) aus der Zeichnung sieht man,dass von x=0 bis x=1 g(x)=1 die obere Begrenzung ist

von x=1 bis x=2 ist f(x)=x³ die obere Begrenzung

A=Integral(1-(x³)=Integral(-x³+1)*dx=-1*Int.(x³*dx)+1*Int.(dx)

A=-1/4*x^4+1*x+C

A=obere Grenze minus untere Grenze  die Integrationskonstante C hebt sich hierbei auf

xu=0 und xo=1

A=(F(xo)) - (F(xu))

A=(-1/4*1^4+1*1) -(-1/4*0^4+1*0)=-1/4+4/4=3/4

A1=3/4=0,75 FE (Flächeneinheiten)

nun die Fläche zwischen f(x) und g(x) zwischen xu=1 und xo berechnen

hier ist f(x)=x³ die obere Begrenzung

A=Integral(x³-(1)=Integral(x³-1)*dx=Intgral(x³*dx)-1*Integral(dx)

A=1/4*x^4-1*x+C

A=obere Grenze minus untere Grenze   xu=1 und xo=2

A=(1/4*2^4-1*2) - (1/4*1^4-1*1)=(2) - (-3/4)

A2=2+3/4=2,75 FE (Flächeneinheiten)

Gesamtfläche Ages=A1+A2=0,75+2,75=3,5 FE