Schnittfläche mit Betrage der Differenzfunktion berechnen?

Question

Aufgabe:

Fläche zwischen 2 Funktionen

Als Funktionen habe ich:
f(x)=-(x-3)^2+5
g(x)=x^3-5x^2

Kann ich den Betrag der Differenzfunktionen benutzen, um beide Flächen auf einmal zu integrieren, indem ich als Intervallgrenzen die beiden äußeren Schnittpunkte (ca. -1.5 und ca. 5) nehme?

Also: d(x)= |f(x)-g(x)|

Habe damit als Ergebnis ca. 74.63

Danke im Voraus! :)

Answer 1

Ja das kannst du so machen

∫ (-1.548 bis 5.034) (ABS(- (x - 3)^2 + 5 - (x^3 - 5·x^2))) dx = 74.63

So bekommst du zwar ein sehr schnelles Ergebnis. Ob du vom Lehrer dafür mehr als einen Lösungspunkt bekommst, hängt davon ab, was er erwartet.

Denn in der Regel möchte ein Lehrer eine Stammfunktion sehen und dass du bei Flächen nicht über Nullstellen hinweg integrierst, sondern schön in Bereiche ohne Nullstellen mit Vorzeichenwechsel aufteilst.

Comments

Alles klar, danke :)

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Hi, eine Frage zur gleichen Thematik:

Ich habe die Funktionen

f(x)=-\( \frac{1}{100} \)\( x^{2} \) +16

g(x)=\( \frac{1}{200} \)\( x^{2} \) -8

Daraus habe ich die Differenzfunktion

d(x)=|-\( \frac{3}{200} \)\( x^{2} \) +24|

gebildet.

Um nun die Fläche zwischen den Graphen zu bestimmen, habe ich das Integral bestimmt: A=\( \int\limits_{-40}^{40} \) |-\( \frac{3}{200} \)\( x^{2} \) +24| dx

Dann habe ich die Klammerschreibweise aufgestellt: [|-\( \frac{1}{200} \)\( x^{2} \) +24x ] 40 -40

Nun komme ich auf |640| - |-640| = 0. Mit GeoGebra habe ich ermittelt, dass das richtige Ergebnis 1280 ist, aber wie würde ich das formal richtig notieren?

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Die Betragsstriche solltest du wenn, dann nur im Taschenrechner benutzen

d(x) = (- 1/100·x^2 + 16) - (1/200·x^2 - 8) = 24 - 3/200·x^2

D(x) = 24·x - 1/200·x^3

∫ (-40 bis 40) d(x) dx = D(40) - D(-40) = 640 - (- 640) = 1280

Es gilt auf keinen Fall !!

∫ (-40 bis 40) |d(x)| dx = |D(40)| - |D(-40)|

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Übernehme ich dann die Betragsstriche gar nicht in die Stammfunktion in der Klammerschreibweise?

Wäre das dann so formal richtig?

\( \int\limits_{-40}^{40} \) |-\( \frac{3}{200} \)\( x^{2} \) +24| dx =  [-\( \frac{1}{200} \)\( x^{2} \) +24x] 40 -40 = 640 - (-640) = 1280

Danke für deine Hilfe :)

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Ja das kannst du so machen

∫ (-1.548 bis 5.034) (ABS(- (x - 3)2 + 5 - (x3 - 5·x2))) dx = 74.63
So bekommst du zwar ein sehr schnelles Ergebnis. Ob du vom Lehrer dafür mehr als einen Lösungspunkt bekommst, hängt davon ab, was er erwartet.

Denn in der Regel möchte ein Lehrer eine Stammfunktion sehen

@Mathecoach

Es ist fahrlässig, ohne Kenntnis der näheren Umstände eine solche Antwort zu geben!

Sollte die Aufgabe dadurch gelöst werden dürfen, dass man

∫ (-1.548 bis 5.034) (ABS(- (x - 3)2 + 5 - (x3 - 5·x2))) dx

an einen Taschenrechner delegiert - okay.

Wenn nicht, darfst du dem Fragesteller gern erklären, wie man in dem Funktionsterm mit Betrag eine abschnittsweise definierte Stammfunktion ermittelt (ganz gleich, ob man sie nun "auf Wunsch des Lehrers" angibt oder nicht´).

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Sollte die Aufgabe dadurch gelöst werden dürfen, dass man ...  an einen Taschenrechner delegiert - okay.

Mehr habe ich nicht gesagt. Nur unter der Voraussetzung man soll es genau so lösen oder nur unter der Voraussetzung man braucht ein schnelles Kontrollergebnis.