Maximaler Definitionsbereich, Differenzierbarkeit, Ableitung? f(x):= x^x

Question

Geben sie den maximalen definitionsbereich an, untersuchen sie auf differenzierbarkeit und geben sie ggf. Die ableitungen an:

f(x):= x^x

Answer 1

Definitionsmenge ist die Menge aller Werte die du für x einsetzen darfst.

Was dürfen wir hir einsetzen bzw. was darf man nicht einsetzen ?

Lösung auf die du kommen solltest: D = ]0 ; ∞[

Ableiten macht man über einen Basiswechsel

f(x) = x^x = EXP(LN(x^x)) = EXP(x * LN(x))

f'(x) = EXP(x * LN(x)) * (1 * LN(x) + x * 1/x) = x^x * (LN(x) + 1)

Auf Differenzierbarkeit solltest du wohl schaffen, vor allem wenn man schon eine Ableitung hat.

Comments

Vielleicht noch was zum Ergänzen:

Man kann jede Potenzfunktion a^b schreiben als e^c*b

Also, für f(x) = x^x = e^c*x

Nach logarithmieren erhält man für c = ln(x)

Daher gilt x^x = e^ln(x)*x