Welche der Teilmengen T des Vektorraums V sind Untervektorräume? T:={(x,y)∈ V | x^3 + xy^2=0}⊂V:=R^2.

Question

Aufgabe:

Welche der folgenden Teilmengen \( T \) des Vektorraums \( V \) sind Untervektorräume:

(a) \( T:=\{f \in V \mid f(0)=f(1)=0\} \subset V:=C^{0}[0,1] \)

(b) \( T:=\{f \in V \mid f(0) \cdot f(1)=0\} \subset V:=C^{0}[0,1] \)

(c) \( T:=\left\{\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right) \in V \mid x_{1}^{3}+x_{1} x_{2}^{2}=0\right\} \subset V:=\mathbb{R}^{2} \)

(d) \( T:=\left\{\left(\begin{array}{c}z_{1} \\ z_{2}\end{array}\right) \in V \mid z_{1}^{3}+z_{1} z_{2}^{2}=0\right\} \subset V:=\mathbb{C}^{2} \)

Man muss ja die 3 Kriterien überprüfen nur wie?

T keine Leere Menge
x,y elemente von T -> x+y element von T
Lambda Element von K, x element von T -> Lambda x element von T

Comments

Gut. Es gibt eine Variante des Kriteriums, das anschaulicher und meist nützlicher ist. Dabei wird \( T \neq \emptyset\) durch \( 0 \in T \) ersetzt. (Ein Unterraum ist auch ein Vektorraum, muss also eine 0 enthalten). Was ist bei den ersten beiden Räumen die 0 und ist diese in T enthalten?

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die 0 in den ersten beiden müsste doch x sein?

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Nein. Ich nehme an, mit x mit du die Abb. \( [0,1] \to [0,1] \quad , x \to x\), auch bekannt als Identität.

Das ist nicht die 0 im Vektorraum, denn id+id: \( [0,1] \to [0,1] \quad , x \to x+x=2x\) was der Def. des neutralen Elements widerspricht.

Du weißt ann, dass du die richtige 0 im Vektorraum finden musst.

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Welche Abb. sind denn im Vektorraum  \( \mathcal C ^0 [0,1] \) enthalten?

Nach Def. muss ja für alle f gelten, dass (f+e)(x)=f(x). (e für neutrales Element bzw. 0). Welches Abb e. erfüllt das?

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Zu b) Wähle \(f(x)=x\) und \(g(x)=1-x\). Sei \(h(x):=f(x)+g(x)=1\). Offensichtlich gilt \(f,g\in T\) und \(h\notin T\). Daher ist \(T\) kein UVR.

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Ganz ehrlich, ich bezweifle, dass es dir wirklich klar ist. Du hast irgendwo eine Lösung gefunden und glaubst sie jetzt. Aber weißt du mittlerweile was \( \mathcal C^0 [0,1] \) ist? Das ist ein Raum der einem oft begegenet. Weißt du jetzt wie man Gegenbeispiele findet? Ich fürchte nein, und damit wirst du vor die selben Probleme bei den nächsten Aufgabe treffen und sie nicht lösen können.