Man berechne die mittlere Abszisse für y=x^m

Question

Hallo folgende Aufgabe:

Man berechne die mittlere Abszisse der Potenzfunktion y=x^m

(a) allgemein  (b) für m=1  (c) für m=2

 

Danke

Comments

Hast du irgendwo eine Definition für den Begriff "mittlere Abszisse"?
Abszisse ist ja einfach x-Koordinate im Koordinatensystem.

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Ich habe das etwa wie folgt in Erinnerung:

Die mittlere Abszisse ist die Abszisse (x-Koordinate) in einem Intervall von a bis b, bei dem der Funktionswert genau dem Mittelwert der Funktionswerte in diesem Intervall entspricht.

Answer 1

Für die mittlere Abszisse im Intervall von a bis b müsste gelten

∫ von a bis b über (x^m) dx / (b - a) = x^m

[1/(m+1) * x^{m+1}] von a bis b / (b - a) = x^m

(1/(m+1) * b^{m+1} - 1/(m+1) * a^{m+1}) / (b - a) = x^m

(b^{m+1} - a^{m+1}) / ((m+1) * (b - a)) = x^m

x = ((b^{m+1} - a^{m+1}) / ((m+1) * (b - a)))^{1/m}

 

Für m = 1

x = (a + b)/2

 

Für m = 2

x = √((a^2 + ab + b^2)/3)