Bestimmung der Umkehrfunktion von g(x) - rechnerisch

Question

 die Frage steht oben :)

?


$$g:\quad [1,4]\quad \rightarrow \quad [-2,0]\\ g(x)\quad =\quad \sqrt { x } -\quad x$$

Berechnen Sie zur Probe $$(f\circ { f }^{ -1 })(x)\quad und\quad ({ f }^{ -1 }\circ f)(x)$$.


Danke für jede Hilfe :)

Answer 1

y = √x - x

y + x = √x

y^2 + 2·x·y + x^2 = x

x^2 + (2·y - 1)·x + y^2 = 0

x = - p/2 + √((p/2)^2 - q)

x = 1/2 - y + √((1/2 - y)^2 - y^2)

x = 1/2 - y + √(1/4 - y)

Skizze

Answer 2

g ( x ) = √ x  - x
y = √ x  - x
Unkehrfunktion
x und y vertauschen
x =  √ y  - y
nach y umstellen
√ y = x + y
y = x^2  + 2xy + y^2
y^2 + 2xy - y = -x^2
y^2 + y ( 2x - 1 ) = -x^2  | quadratische Ergänzung
y^2 + y ( 2x - 1 ) + [( 2x - 1)/2]^2 = -x^2 + ( x - 1/2 )^2
[ y + ( x - 1/2 )]^2 =  -x^2 + x^2 - x + 1/4
y + x - 1/2  =  ± √ ( 1/4 - x )

y  =  ± √ ( 1/4 - x ) - x + 1/2

g ´( x ) = ± √ ( 1/4 - x ) - x + 1/2

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mfg Georg