Aufgabe über Hypothesentests:
Angenommen, der Ertrag einer Leinsamensorte betrage im Mittel \( \mu_{0}=21 \mathrm{t} / \) ha. In einer bestimmten Region soll getestet werden, ob eine andere Sorte bessere Erträge bringt. Die Daten von 6 zufällig ausgewählten Parzellen ergaben folgende Werte:
| Parzelle i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Ertrag [t/ha] | 27 | 22 | 26 | 25 | 20 | 24 |
(a) Muss ein- oder zweiseitig getestet werden?
(b) Formulieren Sie die Nullhypothese!
(c) Berechnen Sie die geeignete Prüfgröße und entscheiden Sie über die Nullhypothese bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 1 %.
(d) Wie würde die Entscheidung bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5 % ausfallen?
Wie immer gibt es Vorschläge, aber ich brauche unbedingt Unterstützung, da ich zum ersten Mal Hypothesentestaufgaben gegeben habe.
Meine Lösungen:
a) einseitig \( H_{0}: \mu \leq \mu_{0} \Rightarrow \) die Alternative umfasst den Bereich \( \mu \epsilon\left(\mu_{0}, \infty\right) \)
und es handelt sich um einen einseitigen Test
b)
1. Formulierung der Nullhypothese \( H_{0} \) :
Es wird immer eine Nullhypothese \( \mathrm{H}_{0} \) gegen ihre Alternative \( H_{1} \) getestet. Alle möglichen Ausgänge des Experiments fallen entweder in die Nullhypothese oder in die Alternative. Typische Nullhypothesen (und ihre zugehörigen Alternativen) sind:
\( \rightarrow H_{0}: \mu=\mu_{0} \) vs. \( H_{l}: \mu \neq \mu_{0} \)
\( \rightarrow H_{0}: F_{X}(t)=F_{Y}(t) \quad \) vs. \( H_{l}: F_{X}(t) \neq F_{Y}(t) \)
\( \rightarrow H_{0}: \mu_{X}=\mu_{Y} \) vs. \( H_{1}: \mu_{X} \neq \mu_{Y} \)
2. Signifikanzniveau \( \alpha: \) Fehler 1. Art undFehler 2. Art
3. Testwahl:
Gau\beta-, \( t \)-, Chi-Quadrat-Test
4. Berechnung der Prüfgröße bzw. Teststatistik
5. Ablehnung oder Beibehaltung von \( H_{0} \)
Ergänzung zu Wahl des Signifikanzniveaus:
| H0 wahr | H0 falsch |
| H0 beibehalten | korrekt (1-α) | Fehler 2. Art (β) |
| H0 abgelehnt | Fehler 1. Art (α) | korrekt (1-β) |
p≤α ⇒Ablehnung der Nullhypothese
p≥α ⇒Beibehaltung der Nullhypothese
Mittelwert: 144/6=24
μ=24t/ha
μ0=21t/ha
H1: 24t/ha≠21t/ha
α=0,01
β=0,99
1-α=0,99
1-β=0,01
Entscheidung Gauß-Test:
\( Z=\frac{\bar{X}-\mu_{0}}{\sigma / \sqrt{n}} \)\( Z=\frac{24-21}{\sigma / \sqrt{6}} \)\( \sigma=\sqrt{\sigma}=\sqrt{\frac{1}{n-1} \sum \limits_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}} \)\( \sigma^{2}=\frac{I}{6-1}=(27-24)^{2}+(22-24)^{2}+(26-24)^{2}+(25-24)^{2}+(20-24)^{2}+(24-24)^{2} \)\( =\frac{1}{5} *(9)+(4)+(4)+(1)+(16)+(0) \)\( =6,8 \)\( \Rightarrow \sigma=\sqrt{\sigma^{2}} \approx 2,60768 \)\( Z=\frac{24-21}{2,60768 / \sqrt{6}}=2,818 \)Z-Wert ist Teststatistik.\( z=\sqrt{n} * \frac{\bar{x}-\mu_{0}}{\sigma} \)\( z=\sqrt{6} * \frac{24-21}{2,60768} \)\( z=2,818 \)\( H_{0^{\prime}}, \mu \leq \mu_{0} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}z>z_{(J-\alpha} \Rightarrow H_{0} \text { verwerfen } \\ z0,838913 \Rightarrow H_{0} \text { verwerfen } \\ 2,818<0,838913 \Rightarrow H_{0} \text { beibehalten }\end{array}\right. \)
Die 0,838913 habe ich aus der Tabelle der Standardnormalverteilung entnommen. Trotzdem kann man die Hypothese verwerfen, da \( 2,818>0,838913 \).
