0 Daumen
808 Aufrufe

Ich habe hier die folgenden 4 Vektoren w1,2,3,4= $$ \left(\begin{matrix} 1\\2\\0 \end{matrix}\right) ,  \left(\begin{matrix} 0\\2\\1 \end{matrix}\right) ,  \left(\begin{matrix} 2\\0\\-1 \end{matrix}\right) , \left(\begin{matrix} 1\\-2\\0 \end{matrix}\right) $$

Jetzt nehme ich mir einen Vektor, als Beispiel wund rechne: v1= w1||w1||, dann bekomme ich wenn ich kein Fehler gemacht habe: $$ \frac {1}{√5} \cdot  \left(\begin{matrix} 1\\2\\0 \end{matrix}\right) $$

 

Anschließend für v2 muss man v2' berechnen mit $$ w2- ⟨v1,w2⟩ \cdot v1 $$ sprich : $$ \left(\begin{matrix} 0\\2\\1 \end{matrix}\right) ⟨\frac {1}{√5} \cdot  \left(\begin{matrix} 1\\2\\0 \end{matrix}\right),\left(\begin{matrix} 0\\2\\1 \end{matrix}\right)⟩ \cdot \frac {1}{√5} \cdot  \left(\begin{matrix} 1\\2\\0 \end{matrix}\right) $$

v2 berechnet sich mit v2'/ ||v2'||

Meine Frage ist jetzt: Wenn ich v3 berechnen will, mache ich das dann so wie bei v2' und nehme $$ w3- ⟨v1,w3⟩ \cdot v1 $$ oder setze ich statt v1, dann v2 ein?, wie: $$ w3- ⟨v2,w3⟩ \cdot v2 $$ 

analog dann auch v4

Formelquelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidt

Avatar von
Bei der TeX-Vorschau sah das noch ganz anders aus :D. Ich denke mal, dass die Frage trotzdem irgendwie ankommt, hoffe ich mal.

1 Antwort

0 Daumen
 
Beste Antwort

w1 = [1, 2, 0]
w2 = [0, 2, 1]
w3 = [2, 0, -1]
w4 = [1, -2, 0]

 

v1 = w1 = [1, 2, 0]

v2 = w2 - (v1·w2)/(v1·v1)·v1
v2 = [0, 2, 1] - [1, 2, 0]·[0, 2, 1]/([1, 2, 0]·[1, 2, 0])·[1, 2, 0] = [-0.8, 0.4, 1]

v3 = w3 - (v1·w3)/(v1·v1)·v1 - (v2·w3)/(v2·v2)·v2
v3 = 
[2, 0, -1] - ([1, 2, 0]·[2, 0, -1])/([1, 2, 0]·[1, 2, 0][1, 2, 0] - ([-0.8, 0.4, 1]·[2, 0, -1])/([-0.8, 0.4, 1]·[-0.8, 0.4, 1][-0.8, 0.4, 1] = [4/9, - 2/9, 4/9]

v4 = w4 - (v1·w4)/(v1·v1)·v1 - (v2·w4)/(v2·v2)·v2 - (v3·w4)/(v3·v3)·v3
v4 = ...

Avatar von 487 k 🚀
Danach würde ich jetzt die Vektoren normalisieren. Aber eigentlich mit den normalen Vektoren erstmal weiterrechnen.
Ich denke mal, dass die Multiplikation z.B. bei v2 per Kreuzprodukt erfolgt oder?
Bei der Division von Vektoren kenne ich mich gar nicht aus. Hast du da vielleicht einen Tipp?
Hast du die Seite https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidt aufmerksam gelesen. Steht dort etwa das das Keuzprodukt verwendet wird?
Du nimmst das Skalarprodukt. Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist ein Skalar oder eine einfache Zahl. daher teilst du auch nicht durch einen Vektor sondern durch eine einfache Zahl.
Gelesen schon nur die Schreibweise in der Antwortbox hat mir nicht vermittelt, dass es sich dort um Skalare handelt.
Doch dadurch ergibt natürlich jetzt alles einen Sinn.

Danke.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community