Gram-Schmidtsche Orthonomierungsverfahren

Question

Ich habe hier die folgenden 4 Vektoren w_1,2,3,4= $$ \left(\begin{matrix} 1\\2\\0 \end{matrix}\right) ,  \left(\begin{matrix} 0\\2\\1 \end{matrix}\right) ,  \left(\begin{matrix} 2\\0\\-1 \end{matrix}\right) , \left(\begin{matrix} 1\\-2\\0 \end{matrix}\right) $$

Jetzt nehme ich mir einen Vektor, als Beispiel w₁ und rechne: v₁= w₁/ ||w₁||, dann bekomme ich wenn ich kein Fehler gemacht habe: $$ \frac {1}{√5} \cdot  \left(\begin{matrix} 1\\2\\0 \end{matrix}\right) $$

 

Anschließend für v₂ muss man v₂' berechnen mit $$ w₂- ⟨v₁,w₂⟩ \cdot v₁ $$ sprich : $$ \left(\begin{matrix} 0\\2\\1 \end{matrix}\right) ⟨\frac {1}{√5} \cdot  \left(\begin{matrix} 1\\2\\0 \end{matrix}\right),\left(\begin{matrix} 0\\2\\1 \end{matrix}\right)⟩ \cdot \frac {1}{√5} \cdot  \left(\begin{matrix} 1\\2\\0 \end{matrix}\right) $$

v₂ berechnet sich mit v₂'/ ||v₂'||

Meine Frage ist jetzt: Wenn ich v₃ berechnen will, mache ich das dann so wie bei v₂' und nehme $$ w₃- ⟨v₁,w₃⟩ \cdot v₁ $$ oder setze ich statt v₁, dann v₂ ein?, wie: $$ w₃- ⟨v₂,w₃⟩ \cdot v₂ $$ 

analog dann auch v₄

Formelquelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidt

Comments

Bei der TeX-Vorschau sah das noch ganz anders aus :D. Ich denke mal, dass die Frage trotzdem irgendwie ankommt, hoffe ich mal.

Answer 1

w1 = [1, 2, 0]
w2 = [0, 2, 1]
w3 = [2, 0, -1]
w4 = [1, -2, 0]

 

v1 = w1 = [1, 2, 0]

v2 = w2 - (v1·w2)/(v1·v1)·v1
v2 = [0, 2, 1] - [1, 2, 0]·[0, 2, 1]/([1, 2, 0]·[1, 2, 0])·[1, 2, 0] = [-0.8, 0.4, 1]

v3 = w3 - (v1·w3)/(v1·v1)·v1 - (v2·w3)/(v2·v2)·v2
v3 = [2, 0, -1] - ([1, 2, 0]·[2, 0, -1])/([1, 2, 0]·[1, 2, 0])·[1, 2, 0] - ([-0.8, 0.4, 1]·[2, 0, -1])/([-0.8, 0.4, 1]·[-0.8, 0.4, 1])·[-0.8, 0.4, 1] = [4/9, - 2/9, 4/9]

v4 = w4 - (v1·w4)/(v1·v1)·v1 - (v2·w4)/(v2·v2)·v2 - (v3·w4)/(v3·v3)·v3
v4 = ...

Comments

Danach würde ich jetzt die Vektoren normalisieren. Aber eigentlich mit den normalen Vektoren erstmal weiterrechnen.

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Ich denke mal, dass die Multiplikation z.B. bei v2 per Kreuzprodukt erfolgt oder?
Bei der Division von Vektoren kenne ich mich gar nicht aus. Hast du da vielleicht einen Tipp?

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Hast du die Seite https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidt aufmerksam gelesen. Steht dort etwa das das Keuzprodukt verwendet wird?
Du nimmst das Skalarprodukt. Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist ein Skalar oder eine einfache Zahl. daher teilst du auch nicht durch einen Vektor sondern durch eine einfache Zahl.

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Gelesen schon nur die Schreibweise in der Antwortbox hat mir nicht vermittelt, dass es sich dort um Skalare handelt.
Doch dadurch ergibt natürlich jetzt alles einen Sinn.

Danke.