Stammfunktion F von f mit f(x):=2x^3 - 3x^2 und Steigung der Tangente von F in P(-0.5,…)

Question

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 2x³ - 3x²

a) Für welche Stammfunktion F von f gilt: F(-1) = 1

b) Bestimmen Sie die Steigung der Tangente an den Graphen von F im Punkt P(-0,5 I F(-0,5)).

 

Kann mir da bitte jemand bei helfen? 

Answer 1

 

f(x) = 2x³ - 3x²

F(x) = 0,5 * x⁴ - x³ + c

 

a) Für welche Stammfunktion F von f gilt: F(-1) = 1

F(-1) = 0,5 * (-1)⁴ - (-1)³ + c = 1

0,5 * 1 + 1 + c = 1

c = -0,5

Probe:

F(x) = 0,5 * x⁴ - x³ - 0,5

F(-1) = 0,5 * 1 + 1 - 0,5 = 1

 

b)

F'(x) = f(x) = 2x³ - 3x²

F'(-0,5) = 2 * (-0,5)³ - 3 * (-0,5)² = -0,25 - 0,75 = -1

 

Besten Gruß

Comments

Warum leitest du f und nicht F ab?

EDIT: erledigt.
@Brucebabe: Bitte.

---

@Lu:

Ich hatte mich einfach verlesen, ist schon korrigiert.

Answer 2

f(x) = 2·x^3 - 3·x^2

F(x) = x^4/2 - x^3 + c

a) Für welche Stammfunktion F von f gilt: F(-1) = 1

F(-1) = 1
(-1)^4/2 - (-1)^3 + c = 1
c + 3/2 = 1
c = - 1/2

F(x) = x^4/2 - x^3 - 1/2

b) Bestimmen Sie die Steigung der Tangente an den Graphen von F im Punkt P(-0,5 I F(-0,5).

f(-0.5) = -1

Answer 3

f(x) = 2x³ - 3x²

zu a) Erstmal die Stammfunktion bilden:

F(x) = (2x³⁺¹)/(3 +1) - (3x²⁺¹)/(2 + 1) + c = 0,5*x⁴ - x³ + c

Nun F(-1) = 1 nutzen, um die Integrationskonstante c zu ermitteln (denn wir suchen ja 1 Stammfunktion):

 F(x = -1) = 0,5*(-1)⁴ - (-1)³ + c = 0,5 + 1 + c = 1 -> c = -0,5

=> Stammfunktion: F(x) =  0,5*x⁴ - x³ - 0,5 (kann man noch schöner schreiben)

zu b) Es soll bestimmt werden F'(x) an der Stelle x = - 0,5, was gleich der Steigung m der Tangente an F an der Stelle x = -0,5 ist.

F'(x) = f(x) (1. Ableitung der Stammfunktion ergibt immer die Funktion an sich)

f(x = -0,5) = 2(-0,5)³ - 3(-0,5)² = -0,25 - 0,75 = -1 = m (Steigung)

Steigungswinkel α -> m = tan(α) -> α = 135°