Beweis eines Gruppenhomomorphismus.

Question

Hallo ich komme bei diesem Beweis auf keinen grünen Zweig.

 

Zeigen sie:

Sei (G,*) eine Gruppe und g ∈ G ein beliebiges Gruppenelement, so ist:

φ_g : { G → G;    h →( 'g  *  h  *  g) } 

1:ein Homomorphismus.

2: Gib weitere Beispiele von Gruppen G und Elementen g ∈ G, damit φ_g einmal ein Isomorphismus ist und einmal nicht.

Zum Gruppenhomomorphismus weiß ich (banal ausgedrückt):

" Man hat eine Menge M und eine Verknüpftung * sowie eine Funktionsvorschrift f:

nun prüft man ob:f(m1)*f(m2) = f(m1*m2)"

 

Danke für jegliche Form der Hilfe.

 

Comments

Also ich würde das so zeigen:

Prüfe ob: 
φ(h)*φ(j) = φ(h*j)

 

Test:

φ(h)*φ(i) = 'g * h * g * 'g *j' g = g' * h *n*  j * g = g' * h * j * g (da g*'g = neutral und g * neutral = g)

φ(h*j) = 'g * h * j * g

=> φ(h)*φ(j) = φ(h*j)

∴

Aber mir wurde dazu gesagt das sei kein Beweis.

Answer 1

Ich gehe davon aus, dass 'g das Inverse zu g ist, ich schreibe dafür g^-1.

1. Seien h₁, h₂ ∈ G. Dann gilt:

φ_g(h₁)*φ_g(h₂)=(g^-1h₁g)*(g^-1h₂g)=(gh₁)(h₂g^-1)=g(h₁h₂)g^-1=φ_g(h₁h₂)

2. Um Isomorphismus zu sein, muss φ_g bijektiv sein, d.h. du musst ein Beispiel finden, sodass folgendes gilt:

i) Injektiv: Seien h₁, h₂ ∈ G mit φ_g(h₁)=φ_g(h₂). Zu zeigen: h₁=h₂.

Es gilt gh₁g^-1=gh₂g^-1

gh₁=gh₂

h₁=h₂

ii) Surjektiv: Sei y ∈ G. Finde ein x ∈ G mit φ_g(x)=y. Setze x=gyg^-1 ∈ G, dann folgt:

φ_g(x)=g^-1xg=g^-1(gyg^-1)g=(g^-1g)y(g^-1g)=y