Wie löse ich die inhomogene Differenzialgleichung y'+(1/t)*y=0?

Question

Ja das ist eigentlich die komplette Aufgabe, die Lösungen liegen uns zwar vor aber da ich für eine Klausur lernen muss würde mich der Rechenweg viel mehr interessieren. Vielen Dank für eure Antworten :)

Answer 1

y' + (1/t)*y = 0

Schreibe ich um als

dy/dt + (1/t)*y = 0

Nun nach Gleichem ordnen

dy/dt = - (1/t)*y  -> dy/y = -dt/t

Beide Seiten integrieren

ln(y) + c1 = - ln(t) + c2

ln(y) = - ln(t) + c2 - c1

Der Term c2 - c1 ist immer ein konstanter Term -> c2 - c1 = c

ln(y) = - ln(t) + c

Beide Seiten e^x

e^ln(y) = e^{- ln(t) + c}

y = (e^c)/t

Probe: y' + (1/t)*y muss Null sein -> y' = - (e^c)/(t²) -> - (e^c)/(t²) +  (1/t)*(e^c)/t = - (e^c)/(t²) + (e^c)/(t²) = 0 -> ok 

Comments

 

was hast du denn mit den Beträgen in den ln Funktionen gemacht?

 

Wenn man z:B 1/t nach t integriert, erhält man ln(|t|) und ich glaub nicht, das man diese nicht einfach fallen lassen kann, weil man nicht weiss, das t >= 0 ist ? D.h man muss diese doch auch berücksichtigen.

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ii78: Möchtest du die Fälle x<0 und x=0 nicht einfach noch ergänzen, falls der Fragesteller sich für eine nichtpositives t ( Zeit ? ) interessieren sollte?