Inhomogene lineare Differentialgleichung

Question

Hallo mit folgender Aufgabe komme ich überhaupt nicht klar 

Aufgabe:

Lösen Sie die inhomogene DGL  y´(x) = - λy(x) + μ
unter der Anfangsbedingung y(0) = y₀ .
Hierbei seien λ und μ positive reelle Parameter.

Problem/Ansatz:

Ich habe es mit http://statistik.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node182.html versucht. 
Jedoch kriege ich hierbei schon das y_h also die allgemeine Lösung der homogenen DG nicht hin da ich ein y(x) hab also :

y_h : y´(x) + λy(x) = 0  ⇔ \( \frac{dy}{dx} \)  = - λy(x)  ⇔ 1 dy = - λy(x) dx  
und jetzt ?  
das y(x) stört mich extremst da ich zu Y(x) ja noch den Bruch haben müsste damit die Ableitung wieder das gleiche ergibt.

Könnte wer helfen ? 

Lieben Grüße

Hans

Answer 1

das Verfahren "Variation der Konstanten" ist richtig.

dy/dx= -λy |*dx  --- -<Trennung der Variablen

dy= -λydx

dy/y= -λdx

usw.

Comments

ok das hatte ich ja in der vorherigen aufgabe auch aber du hast aus dem y(x) einfach ein y gemacht ist das ok ?

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Ja das ist ok

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Hey vielen Dank für deine Hilfe zu dieser Zeit ( sowohl für diese Aufgabe als auch vorhin).



Die Lösung lautet allgemein : 
y = y_h + y_p 

y_h = e^{-λ * x} *c

für y_p hat man die Lösung : y_p = C(x) * e ^{-∫ a(x) dx}
Und C(x) = ∫ s(x) * e  ^{∫ a(x) dx}  dx 
               =∫ μ * e  ^{∫ -λ dx}  dx  
               = -μ * e ^{-λ x} * 1/ λ


Also y  =  y_h + y_p =   e^{-λ * x} *c +  -μ * e ^{-λ x} * 1/ λ  =  e ^{-λ * x}  (c - \( \frac{μ }{λ} \) )

Anfangsbedingung y(0) = y₀ :

y(0) = e * (c-\( \frac{μ }{λ} \)) = y₀

⇒ c = \( \frac{y_0}{e} \) + \( \frac{μ }{λ} \)

Also 
y = e ^{-λ * x} (\( \frac{y_0}{e} \) + \( \frac{μ }{λ} \) -  \( \frac{μ }{λ} \) ) 
   = e ^{-λ * x} (\( \frac{y_0}{e} \) )

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was mich bei dem ganzen verwirrt bzw. wo ich unsicher bin : 

y_p = C(x) * e ^{-∫ a(x) dx}  

" C(x) kann nun so gewählt werden, daß y_p eine spezielle Lösung der inhomogenen DG wird."

und dann steht da : 

C(x) = ∫ s(x) * e  ∫ ^{a(x) dx}  dx

Ich habe dann dieses C(x) nicht bei y_p eingesetzt.
Ist das richtig so oder muss ich das C(x) doch nocht mit e ^{-∫ a(x) dx}   multiplizieren ?

Das hatte ich auch mal gemacht um zu gucken was raus kommt aber das Ergebnis war dann einfach nur : 

y_p = -μ/ λ




Sry für den doppel kommentar  wollte einfach "Lösung" und Problem getrennt haben !