Fallunterscheidung bei ∫ IxI *Ix-1I* Ix+2I dx von -3 bis 2

Question

ich habe folgendes Integral ∫²_-3 IxI *Ix-1I* Ix+2I dx

Ich weiß, dass ich hierbei eine Fallunterscheidung machen sollte und zumindest das Integral in einzelne Teile zerlegen muss um die Stammfunktion zu finden. Aber wie finde ich heraus wie ich das teile? In meinen Lösungen wurde es in ∫_-3^-2, ∫⁰_-2, ∫₀¹,∫₁²  eingeteilt aber ich habe keine Ahnung wieso.

EDIT (Lu): Überschriftsfrage der Fragestellung und der offenbar erwarteten Lösung angepasst.

Answer 1

Du brauchst einfach die Nullstellen von den Termen die unter dem Betrag stehen

|x| --> 0 

Ix - 1I -- 1

Ix + 2I --> -2

Das sind also die Stellen an denen Du trennen musst.

Für x ≤ -2

∫ |x|·|x - 1|·|x + 2| dx = ∫ -(x)·-(x - 1)·-(x + 2) dx

Für -2 ≤ x ≤ 0

∫ |x|·|x - 1|·|x + 2| dx = ∫ -(x)·-(x - 1)·(x + 2) dx

Für 0 ≤ x ≤ 1

∫ |x|·|x - 1|·|x + 2| dx = ∫ (x)·-(x - 1)·(x + 2) dx

Für 1 ≤ x

∫ |x|·|x - 1|·|x + 2| dx = ∫ (x)·(x - 1)·(x + 2) dx

Answer 2

Vielleicht gibt dir diese Variante eine weitere Anregung.

Ich ersetze | x | durch √ x^2

Und den ganzen Ausdruck zu

(-3) * √ [ x^2 * ( x-1)^2 * (x+2)^2 ]

Der Ausdruck in der Wurzel ist stets positiv oder 0.
Der Wurzelwert auch . Mal -3 . Stets negativ.

Ich brauche also gar keine Fälle zu unterscheiden.

(-3) *  ∫_-3²  √ [ x^2 * ( x-1)^2 * (x+2)^2 ] dx
oder
(-3) *  ∫_-3²  ( x^6 + 2x^5 -3x^4 - 4x^3 + 4x^2 )^{1/2} dx

Ergebnis -133/4
( mein Matheprogramm )

Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

mfg Georg
 

 

 

Comments

Ich verstehe was du meinst aber bei meiner Musterlösung steht 133/12. Ich muss jedoch zugeben, dass ich es noch nicht gerechnet habe. Daher werd ich es gleich nochmal rechnen.

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133/12 ist das richtige Ergebnis. Das bekomme ich auch heraus.

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Ist schon geklärt.
In der grünen Überschriftsfrage ist der Integrationsanfang
ein wenig verrutscht, sodass ich die -3 als *(-3) gelesen
habe.
133/12 ist also richtig

mfg Georg

Answer 3

 ∫²_-3 IxI *Ix-1I* Ix+2I dx

Mein Vorschlag:

Bestimme zuerst die Stammfunktion von g(x) = x(x-1)(x+2) also ohne Beträge.

Bestimme nachher die Nullstellen des Integranden: x1=0, x2=1, x3=-2.

Berechne nun  
∫_-3^-2g(x) dx,
∫⁰_-2 g(x) dx,
∫₀¹ g(x) dx und
 ∫₁² g(x) dx.

Nimm von allen Resultaten den Betrag. Addiere die Zahlen. fertig.

Grund: Der Betrag eines Produkts ist dasselbe wie das Produkt der Beträge. Also hier

f(x) = IxI *Ix-1I* Ix+2I = |x(x-1)(x+2)| = |g(x)|
 

Comments

Meinen Glückwunsch.  Die Lösung ist einfacher
als meine und wahrscheinlich mit noch weniger
Rechenarbeit verbunden.
mfg Georg