IxI >= Ix+1I Bestimmen Sie die Lösungsmenge

Question

Erstmal mein Lösungsvorschlag (was mache ich eventuell falsch):

Bestimmen Sie die Lösungsmenge:  IxI ≥ Ix+1I

Fall 1 :    x ≥ 0 dann                                   x ≥ Ix+1I

Fall 1a)  x ≥ 0 ∧ x+1 ≥ 0 dann                 x ≥ x+1   macht dann: 1. x≥0 und 2. x ≥ -1 und 3. 0 ≥ 1

Fall 1b)  x ≥ 0 ∧ x+1 < 0 dann                 x ≥ -(x+1) macht dann: 1. x≥0 und 2. x < -1 und 3. x ≥ -1/2

Fall 2:    x< 0 dann                                    -x ≥ Ix+1I

Fall 2a) x< 0 ∧ x+1 ≥ 0 dann                   -x ≥ x+1 macht dann: 1. x <0 und 2. x≥-1 und 3. x ≤ - 1/2

Fall 2b) x<0 ∧ x+1  < 0 dann                    -x ≥ -(x+1) macht dann: 1. x<0 und 2.x<-1 und 3. x ≤ 1/2

So. Hab ich das bis hierhin richtig gemacht? Und wie bestimmt man jetzt die Lösungsmenge (das bereitet mir Kopfschmerzen)

Answer 1

| x | ≥ | x + 1 | ⇔ x² ≥ (x + 1)² = x² + 2·x +1 ⇔ 0 ≥ 2·x + 1 ⇔ x ≤ -1/2.

Comments

Schöne kurze Rechnung.
Wenn zwei Beträge gleich sind, hilft Quadrieren gegen mühsame Fallunterscheidungen.

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@Lu:

Das ist gut zu wissen, danke!

Auch Dank an den anonymen Beantworter der Frage!

Answer 2

 

|x| ≥ |x+1|

 

Fall 1: x ≥ 0

x ≥ |x + 1|

1a) x + 1 ≥ 0

x ≥ x + 1 | 0 ≥ 1 | unwahr

1b) x + 1 < 0

x < -1 | Widerspruch zur Annahme x ≥ 0

 

Fall 2: x < 0

-x ≥ | x + 1 |

2a) x + 1 ≥ 0

-x ≥ x + 1

-2x ≥ 1

x ≤ -0,5

Mit der Voraussetzung x + 1 ≥ 0, also x ≥ -1 folgt daraus:

-1 ≤ x ≤ -0,5

2b) x + 1 < 0 | x < -1

-x ≥ - 1 - x

0 ≥ - 1

 

Lösungsmenge L = {x ∈ ℝ | x ≤ - 0,5}

 

Vielleicht einmal ein paar Werte für x in die Ungleichung einsetzen, um eine "Probe" durchzuführen :-)

 

Besten Gruß

Comments

Dennoch versteh ich das Intervall nicht. Warum nur x ≤ -0,5 ? und nicht -1 ≤ x ≤ 0,5 ?


Weil bei 2b) steht x < -1?

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Ja, weil bei 2b) steht x < - 1

 

Wir haben unter "Fall 2" zwei weitere Fälle unterschieden:

1) x < 0 und x + 1 ≥ 0 | also x ≥ -1

mit der Lösung -1 ≤ x ≤ -0,5

2) x < 0 und x + 1 < 0 | also x < -1

mit der Lösung x < -1

 

Mit x ≥ - 1 und x < -1 haben wir alle reellen Zahlen abgedeckt.

Und dann erhielten wir für den Fall x ≥ -1 nur den kleinen Bereich - 1 ≤ x ≤ -0,5 als Lösungsmenge,

und für den Fall x < - 1 den großen Bereich x < -1 als Lösungsmenge.

Einer der beiden Fälle muss eintreten, also mussten wir die Lösungsmengen vereinigen.

 

Ein wenig deutlicher?

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Ja deutlich deutlicher;))))

 

(Tausend Dank)² Brucybabe