∏ 1/(1-1/p^2) Bitte nur Tipps zu Produktzeichen und Zusammenhang zur geometrischen Rehe

Question

p prim,
$$\prod _{ p=2 }^{ \infty  }{ \frac {1  }{ 1-\frac { 1 }{ p^2 }  }  } = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$$

Nachtrag(Kommentar): Das ist die linke Seite vom '='. Auf der rechten Seite steht die Summe von k=1 bis unendlich mit 1/k².

Überlegen Sie sich den Zusammenhang der linken Seite mit der geometrischen Reihe.
Multiplizieren Sie dann implizit die linke Seite aus und überlegen Sie, ob jeder Bruch
1/k^2 für alle k aus 2 N genau einmal vorkommt. Denken Sie dabei an die Eindeutigkeit der
Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl.

Bitte nur weitere Tipps! keine Lösung. :-)

Comments

Du schreibst etwas von einer linken Seite. Was ist damit gemeint? Links steht einfach das Produktzeichen.

Rechts davon kannst du den 3. Binom benutzen

1/(1-1/p^2) = 1/((1-p/2)(1+p/2)) = 1//(1-p/2)* 1/(1+p/2))

---

Tut mir leid die Rechte Seite habe ich vergessen. Auf der rechten Seite steht die Summe von k=1 bis unendlich mit 1/k^2

Answer 1

Hier mal das, was ich an geometrischen Reihen reininterpretieren könnte:

1/(1-1/q^2) = ∑ (1/q^2)^n       Summe von 0 bis unendlich
1/(1-1/q) = ∑ (1/q)^n              Summe von 0 bis unendlich

1/(1+1/q) = ∑ (-1/q)^n              Summe von 0 bis unendlich

Implizit ausmultiplizieren heisst vermutlich, dass du dir die Summen nebeneinander in langen Klammern vorstellen sollst und dann distributiv überlegen sollst, wie oft welche Potenz in die Summe kommt.
Hoffe, dass du damit etwas anfangen kannst.

Du willst ja keine Lösung ;)

Inspiration eventuell auch hier: https://www.mathelounge.de/74286/abwandlung-der-geometrischen-reihe

Comments

Hättest du doch die Lösung? Ich komme irgendwie nicht weiter :/

---

Ich komme so auch nicht weiter. Aber offenbar hast du vergessen zu erwähnen, dass p nur Primzahlen sein sollen. Vgl. dieselbe(?) Frage hier: https://www.mathelounge.de/83030/analysis-aufgaben-grenzwert-etc