Analysis, Aufgaben, Grenzwert: Reihe ∏ 1/(1-1/p2) = ∑1/k2 (p prim, k=1...∞) Teilsummen sn

Question

₁^∞∑1/k²

Gegeben sei die Reihe:  $$\sum _{ k=1 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ { k }^{ 2 } } }$$

1. Zeigen Sie explizit, dass die Teilsummenfolge der Reihe  s_n = $$\sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ { k }^{ 2 } } }$$  streng monoton wächst. 

2. Zeigen Sie, dass für die Teilsumme s_n gilt, dass  $$\sum _{ k=1 }^{ { _{ 2 }{ m+1 }_{ -1 } } }{ \frac { 1 }{ { k }^{ 2 } } } \le 2$$ für n≤2^m+1-1  ∀n∈ℕ. ( Hinweis: Schätzen Sie die rechte Seite gliedweise mit der geometrischen Reihe ab.)

3. Zeigen Sie, dass $$\prod _{ primzahl\quad (p)=2 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ 1-1/{ p }^{ 2 } } }$$  = $$\sum _{ k=1 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ { k }^{ 2 } } }$$  ( Hinweis: Überlegen Sie sich den Zusammenhang der linken Seite mit der geometrischen Reihe. Multiplizieren Sie dann implizit die linke Seite aus und überlegen Sie, ob jeder Bruch 1/k² für alle k ∈ ℕ genau einmal vorkommt. Denken Sie dabei an die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl. 

4. Bestimmen Sie nummerisch den Grenzwert der Reihe mit einer Genauigkeit von 10^-5.

 

Comments

Zu 1.: Zeige, dass $$s_{n+1} > s_n$$

Zu 2.: Schreibe dir mal die Folgenglieder der Reihe mit 1/k^2 und dann die der geometrischen Reihe mit q = 1/2 von 0 bis 2^{m+1} - 1 an und vergleiche

Zu 3.: Nicht viel Ahnung. Links, das sind Grenzwerte konvergenter geometrischer Reihen. Bei Wikipedia gibt es etwas Hilfe wenn dir die Artikel zur Zeta-Funktion ansiehst

Zu 4.: Einfach in C++ programmieren oder Wolfram-Alpha fragen.


P.S.: Versuche es selber. Spätestens in der Klausur wirst du sonst sehr schlechte Karten haben.

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Ja, ich hab es zwar versucht, aber ich krieg die Aufgaben nicht hin. Daher brauche ich Hilfe.

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Mindestens 4 und 1 muss man hinkriegen. Das ist nun wirklich nicht schwer. Und du hast ja jetzt schon einige Tipps von mir bekommen. Bei den anderen kann ich später nochmal was dazu schreiben, habe jetzt aber gerade keine Zeit.

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s_n+1 > s_n       I -s_n

s_n+1 - s_n > o 

$$\sum _{ k=1 }^{ n+1 }{ \frac { 1 }{ { k }^{ 2 } } }$$ - $$\sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ { k }^{ 2 } } }$$ > 0 

Wie muss ich jetzt vorangehen? 

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$$s_{n+1}-s_n=\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{k^2}-\sum_{k=1}^n\frac1{k^2}=\frac1{(n+1)^2}>0\Rightarrow s_{n+1}>s_n.$$

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Wie kommst du auf den vorletzten Schritt, also: $$\frac { 1 }{ { (n+1) }^{ 2 } }$$ > 0

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Das Quadrat einer reellen Zahl ist bekanntlich niemals negativ.

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Ok, jetzt habe ich es verstanden. Danke. Hast du vielleicht Ahnung, wie ich die anderen Aufgaben lösen könnte?

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https://www.mathelounge.de/83392/bitte-tipps-produktzeichen-zusammen…

Ich habe dort in etwas andern Worten das vorgeschlagen, was im Hinweis steht. Wenn nun p nur Primfaktoren sind, könnte es sein, dass jede beliebige Quadratzahl nur einmal vorkommt.

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Und wie muss ich jetzt vorgehen? Und wie könnte ich die 2.Aufgabe lösen?