1∞∑1/k2
Gegeben sei die Reihe: k=1∑∞k21
1. Zeigen Sie explizit, dass die Teilsummenfolge der Reihe sn = k=1∑nk21 streng monoton wächst.
2. Zeigen Sie, dass für die Teilsumme sn gilt, dass k=1∑2m+1−1k21≤2 für n≤2m+1-1 ∀n∈ℕ. ( Hinweis: Schätzen Sie die rechte Seite gliedweise mit der geometrischen Reihe ab.)
3. Zeigen Sie, dass primzahl(p)=2∏∞1−1/p21 = k=1∑∞k21 ( Hinweis: Überlegen Sie sich den Zusammenhang der linken Seite mit der geometrischen Reihe. Multiplizieren Sie dann implizit die linke Seite aus und überlegen Sie, ob jeder Bruch 1/k2 für alle k ∈ ℕ genau einmal vorkommt. Denken Sie dabei an die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl.
4. Bestimmen Sie nummerisch den Grenzwert der Reihe mit einer Genauigkeit von 10-5.