Konvergenzradius bestimmen/ Grenzwert berechnen

Question

Aufgabe:

Konvergenzradius von ∑∞ n=1 (3^{n+2}) / n! x^n berechnen.

Ansatz:

Mit dem Quotientenkriterium habe ich:

I (3^{n+3}) n! / (3^{n+2}) (n+1)! I und nun?

Bei einer anderen Aufgabe ist der Grenzwert G zu bestimmen: G lim x→0 x^3 (3-log(x)).

Hinweis: Das x→0 ist eigentlich ein Pfeil nach rechts unten.

Für einen Lösungsansatz bei dieser Aufgabe wäre ich dankbar.

Comments

I ((3^{n+3}) n! ) / ((3^{n+2}) (n+1))! I 

Hier kannst du kürzen: Es bleibt, wenn man Klammern um vermuteten Zähler und Nenner ergänzt:

= | 3/(n+1) |

x→0 eigentlich ein Pfeil nach rechts unten ist aber ich nicht weiß wie ich den schreibe.   

Damit ist ein rechtsseitiger Grenzwert (oder Grenzwert von rechts) gemeint.
Du kannst das auch x→0+ schreiben.

Answer 1

Zum Limes:

$$ \lim_{x → 0}{x^3(3-log(x)} = \lim_{x → 0}{3x^3-x^3log(x)} \\ = \lim_{x → 0}{3x^3} - \lim_{x → 0}{-x^3 \log(x)} \\ = 0 + \lim_{x → 0}{x^3 \log(x))} \\ = \lim_{x → 0}{\log({{x^{x}}^{x}}^{x})} = 0 $$

Answer 2

$$\lim_{x\to0}x^3\log x=\lim_{x\to0}\frac{\log x}{\frac1{x^3}}=\lim_{x\to0}\frac{\frac1x}{-\frac3{x^4}}=-\lim_{x\to0}\frac{x^3}3=0.$$$$G=\lim_{x\to0}x^3(3-\log x)=\lim_{x\to0}3x^3-\lim_{x\to0}x^3\log x=0-0=0.$$