Betrags-Ungleichung: x·|x + 1| > 2·x

Question

Ich habe Probleme mit dieser Ungleichungen....

X * |X+1| > 2 X

Kann mir vielleicht jemand erklären wie man die verschiedenen Fälle bestimmt....

Woran erkennt man wieviele Fälle man hat ???

In diesem Fall darf X nicht gleich null sein..... das sehe ich auch....

Damit haben wir schon einmal 2 Fälle:

Fall 1 : X > 0

Fall 2: X < 0

Gibt es noch einen weiteren Fall, und wenn ja woran erkenn ich den ????

Gibt es eine grundsätzliche Vorgehensweise wie man Ungleichungen lösen kann????

Könnte mir jemand bei dem Lösungsweg helfen.....

Vielen Dank !!!!

Gruß

Kay

Answer 1

x·|x + 1| > 2·x

Grundsätzlich hast du zunächst den Fall das x = 0 ist. Dann ist die Gleichung nicht erfüllt und wir dürfen durch x teilen. Achtung. Für x > 0 bleibt das Ungleichheitszeichen so, für x < 0 dreht es sich um.

x < 0
|x + 1| < 2

Hier müssen wir jetzt für den Betrag noch eine Fallunterscheidung machen.

x < -1
- (x + 1) < 2
x > -3 --> -3 < x < -1

- 1 ≤ x < 0
(x + 1) < 2
x < 1 --> - 1 ≤ x < 0

Jetzt noch der Fall

x > 0
|x + 1| > 2
x + 1 > 2
x > 1 --> x > 1

Du fasst die Bereiche noch zusammen

-3 < x < 0 oder x > 1

Comments

Vielen Dank ,

für die ausführliche Anwort,

mir ist es halt noch nicht ganz so klar, wie man bei dem Betrag auf die verschiedenen Fälle kommt....

Gruß

Kay

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@mathecoach
Die vielen Fallunterscheidung nerven mitunter.
Für mich wäre folgende Vorgehensweise
etwas klarer.
( ausführlich )
x < 0 und
|x + 1| < 2
die zweite Zeile bedeutet
( x + 1 ) liegt im Intervall -2 .. 2
-2 < ( x + 1 ) < 2  | - 1
-3 < x < 1
zusammen mit x < 0 ergibt sich
-3 < x < 0

Kurzfassung
x < 0 und
|x + 1| < 2
-2 < ( x + 1 ) < 2
-3 < x < 1 und x < 0
-3 < x < 0

mfg Georg

Answer 2

Hallo Kay,

obwohl die Ungleichung relativ unspektakulär

X * |X+1| > 2 X

ausschaut können ( Un- ) Gleichungen mit Betragszeichen viel Arbeit
verursachen und verwirren. So geht es mir jedenfalls.

Generell gibt es keine Antworten auf deine Fragen. Jede
Gleichung muß individuell gelöst werden.

Ich forme um

2 * x - x * | x + 1 | < 0  | x ausklammern
x * ( 2 - | x + 1 | ) < 0  | ein Produkt ist dann kleiner 0 wenn die Faktoren
unterschiedliche Vorzeichen haben ( - mal + oder + mal - ).

1.Fall
x < 0 und  2 - | x + 1 | >  0
( siehe meinen Kommentar an den mathecoach )
-3 < x < 0

2.Fall
x > 0 und  2 - | x + 1 | <  0
| x + 1 | >  2
Unterfall a für ( x + 1 ) > 0
x + 1 > 2
x > 1 zusammen mit der Eingangsvoraussetzung x > 0
x > 1
Unterfall b für ( x + 1 ) < 0
ist zu nehmen ( x + 1 ) * (-1)
-x - 1 > 2
x < -3 zusammen mit der Eingangsvoraussetzung x > 0
ergibt sich für diesen Fall die leere Menge

Bei Fragen wieder melden.

mfg Georg
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