Definitionen Elementarmathematik: Binomialkoeffizient, binomische Formel, Pythagoras

Question

a) Wie ist die Zahl \( \left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) \) für \( n, k \in \mathbb{Z}, 0 \leq k \leq n \) definiert?

b) Was haben die Zahlen ("k) mit der Zahl \( (x+y)^{n} \) zu tun?

c) Berechnea Sie \( (x+y)^{5} \).

d) Durch welche charakterisierung mit Abständen ist eine Hyperbel gegeben?

e) Was ist die Definition einer Zusammenhangskomponente eines Graphen \( G ? \) Was verstehen wir unter einem zusammenhaingenden Graphen?

f) Was besagt der Satz von Pythagoras?

g) Was sind die mumerische Wert von \( \sin (\pi / 4), \cos (\pi / 3) \)?

Comments

Bei a) geht es um den Binomialkoeffizienten. Er wird auch in den beiden folgenden Aufgaben im Zusammenhang mit dem binomischen Lehrsatz, nach dem er benannt wurde, vorkommen. Da es unterschiedliche Möglichkeiten gibt, den Binomialkoeffizienten zu definieren, wirst Du sicher Eure Definition kennen müssen. Schlag die mal nach und stelle sie hier vor.

Answer 1

zu a) Der Binominalkoeffizient ist definiert als n!/(k!*(n - k)!) für n und k ∈ ℤ, 0 ≤ k ≤ n

zu b) Die Binomialkoeffizienten treten bei der Berechnung der n-ten Potenz des Binoms (x + y) als Koeffizienten auf.

Formel vom binomischen Lehrsatz: (x + y)ⁿ = (n über 0) xⁿ*y⁰ + .... (n über n) x⁰*yⁿ , n ∈ ℕ

zu c) siehe b)

zu d) Weiß ich nicht, was gemeint ist. Eine Hyperbel hat im allgemeinen folgenden Form:

y²/a - x²/b = 1 (a und b sind die Halbachsen)

Die Hyperbel ist diejenige ebene Kurve, deren Punkte P von zwei festen Punkten F1 und F2, den Brennpunkten, konstante Abstandsdifferenz haben.

zu e) Die Definitionen habe ich bereits hier im Forum gegeben.

Ein maximaler zusammenhängender Teilgraph eines ungerichteten Graphen G heißt Zusammenhangskomponente  von G.

Ein ungerichteter Graph G heißt zusammenhängend, wenn es von jedem Knoten u zu jedem anderen Knoten v mindestens einen Weg gibt.

zu f) Den kennt man eigentlich schon aus der Schule ?

zu g) sin(π/4) = 0,5*√2 (aus Tafelwerk), könnte man aber auch analytisch ableiten, ausgehend von sin(π/2) = 1 mit Additionstheorem etc.

analog dazu cos(π/3) = 0,5

Comments

Ok super vielen Dank :)

Ja den Pythagoras verstehe ich auch :)

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Ja den Pythagoras verstehe ich auch :)

Die Frage war aber nicht, ob Du den Satz verstanden hast, sondern was er aussagt. Was sagt er denn aus?

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Der Satz des Pythagoras sagt aus, dass die Summe aller Quadrate über den Katheten eines Rechtwinkligen Dreieck gleich dem Quadrat der Hypotenuse ist.

Stimmt das?

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ja, obgleich wir nur 2 Katheten haben .-)

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(...) Stimmt das?

Ja das stimmt. Hier noch die etwas elegantere Variante nach Wikipedia:

Der Satz des Pythagoras (...) besagt, dass in allen ebenen rechtwinkligen Dreiecken die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrates ist.

Noch ein Merksatz: Pythagoras, Kathete und Hypotenuse haben jeweils nur ein "h"!

Answer 2

Pascalsche Dreieck anwenden und fallende und steigende Potenzen beachten !!

----> 1        5       10       10        5        1 

(x+y)⁵ = x⁵ +5x⁴ y +  10 x³ y² + 10x² y³ +5xy⁴ +y⁵    !!