Reihe auf Konvergenz untersuchen: ∑(von n=1 bis ∞) (n^2/(1+n^3))

Question

Ich möchte die folgende Reihe auf Konvergenz untersuchen:

∑(von n=1 bis ∞) (n^2/(1+n^3))

Ich würde sagen, dass die Reihe divergiert, weil sie sich keinem Wert annähert, sondern immer den Wert 1/2 annimmt. Aber wie kann ich das zeigen?

Comments

Ich würde sagen, dass die Reihe ... immer den Wert 1/2 annimmt.

eine schönere Konvergenz kann man sich doch gar nicht denken.

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Wie kommst du hier auf 1/2?

Die Summanden sind doch mit der Zeit 'ungefähr' 1/n. Mit einem Vergleich mit der harmonischen Reihe sollte sich die Divergenz der Summe zeigen lassen.

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Bei meinem Ergebnis von 1/2 war ich wohl etwas voreilig. Sehe jetzt auch, dass die Summanden mit der Zeit ungefähr 1/n werden.
Wie würde denn deiner Meinung ein solcher Vergleich aussehen?

Answer 1

 (n²/(1+n³)) =

= 1/(1/n^2 + n)  , für n≥ 1

≥ 1/(2n) = 1/2*1/n

==> 

∑(von n=1 bis ∞) (n²/(1+n³)) ≥  ∑(von n=1 bis ∞) 1/2 * 1/n

=  1/2* ∑(von n=1 bis ∞) 1/n         . Harmonische Reihe ist divergente Minorante der Summe.

1/2 * unendlich ist immer noch unendlich.

==> Reihe divergiert.

Comments

Wenn ich da nur auch selber drauf kommen würde...

Aber einige Aufgaben bekomme ich jetzt schon hin. Suche mir im Internet jede Menge Aufgaben raus und rechne diese. Na ja, ich muss halt noch viel üben.

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Bitte. Gern geschehen! Allerdings (wie immer) ohne Gewähr!

Answer 2

Ich würde sagen, dass die Reihe divergiert, weil sie sich keinem Wert annähert, sondern immer den Wert 1/2 annimmt. Aber wie kann ich das zeigen?
Den Satz solltest Du ein wenig erklären...

Zum eigentlichen Problem: Vergrößere den Nenner und verkleinere dadurch die Summanden, so dass sich eine schicke Minorante ergibt.