Taylorpolynom zweiten Grades für f(x,y)= x^2/(y+1)

Question

Für f(x,y)= x^2/(y+1) ermittle man T₂ (x;[-2,1]^T ) 

danke für hilfe

Comments

Steht die 1 neben dem Bruchstrich? Wenn nicht: Bitte Nenner einklammern. Es gilt Punkt- vor Strichrechnung.

EDIT: Klammern gemäss Kommentar ergänzt.

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Die 1 steht unterm Bruchstrich  f(x,y) = x^2/(y+1)

Answer 1

f(x,y) = x²/(y + 1) = x²*(y + 1)^(-1)

Okay, bilden wir erstmal alle notwendigen, für den 2. Polynomgrad erforderlichen Ableitungen:

f '_x(x,y) = 2x/(y + 1)

f '_y(x,y) = -x²*(y + 1)^(-2)

f ''_xx(x,y) = 2/(y + 1)

f ''_yy(x,y) = 2*x²*(y + 1)^(-3)

f ''_xy(x,y) = -2x*(y + 1)^(-2)

f ''_yx(x,y) = -2x*(y + 1)^(-2)

Nun setzen wir mal die Umgebung f(xo,yo) = (-2, 1) in die Ableitungen ein:

f '_x(-2,1) = 2(-2)/(1 + 1) = -2

f '_y(-2,1) = -(-2)²*(1 + 1)^(-2) = -4/2² = -1

f ''_xx(-2,1) = 2/(1 + 1) = 1

f ''_yy(-2,1) = 2*(-2)²*(1 + 1)^(-3) = 8/2³ = 1

f ''_xy(-2,1) = -2*(-2)*(1 + 1)^(-2) = 1

f ''_yx(-2,1) = -2*(-2)*(1 + 1)^(-2) = 1

-> T₂ =  f(xo,yo) + f '_x(xo,yo)*(x - xo) + (1/2)* f ''_xx(xo,yo)*(x - xo)² + f '_y(xo,yo)*(y - yo) + (1/2)* f ''_yy(xo,yo)*(y - yo)² + (1/2)* f ''_xy(xo,yo)*(x - xo)*(y - yo) + (1/2)* f ''_yx(xo,yo)*(y - yo)*(x - xo)

-> T₂ = 2 - 2*(x + 2) + 0,5*(x + 2)² - (y - 1)  + 0,5*(y - 1)² + 0,5*(x + 2)*(y - 1) +  0,5*(x + 2)*(y - 1)

-> T₂ = 2 - 2*(x + 2) + 0,5*(x + 2)² - (y - 1)  + 0,5*(y - 1)² + (x + 2)*(y - 1) 

Kann man noch vereinfachen ...