Hi, hier mal was zur ersten Gleichung, sie beschreibt eine Ellipse. Da ich nicht weiß, was ihr als Normalform bezeichnet habt, könnte es die letzte oder die vorvorletzte Zeile sein, die du suchst. Das hier benötigte Rechenverfahren (quadratisches Ergänzen) ist Schulstoff, die Festlegung einer "Normalform" Geschmackssache. Du müsstest also idealerweise mitteilen, wobei du technische Schwierigkeiten hast und was ihr unter "Normalform" versteht.
$$ \begin{aligned}4\cdot x^{2}+9\cdot y^{2}+12\cdot x-6\cdot y & =11\\
4\cdot x^{2}+12\cdot x+9\cdot y^{2}-6\cdot y & =11\\
4\cdot\left(x^{2}+3\cdot x\right)+9\cdot\left(y^{2}-\frac{2}{3}\cdot y\right) & =11\\
4\cdot\left(x^{2}+3\cdot x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-\left(\frac{3}{2}\right)^{2}\right)+9\cdot\left(y^{2}-\frac{2}{3}\cdot y+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}-\left(\frac{1}{3}\right)^{2}\right) & =11\\
4\cdot\left(\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{9}{4}\right)+9\cdot\left(\left(y-\frac{1}{3}\right)^{2}-\frac{1}{9}\right) & =11\\
4\cdot\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}-9+9\cdot\left(y-\frac{1}{3}\right)^{2}-1 & =11\\
4\cdot\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}+9\cdot\left(y-\frac{1}{3}\right)^{2} & =21\\
\frac{4\cdot\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}+9\cdot\left(y-\frac{1}{3}\right)^{2}}{36} & =\frac{21}{36}\\
\frac{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}{9}+\frac{\left(y-\frac{1}{3}\right)^{2}}{4} & =\frac{7}{12}
\end{aligned} $$
