Komplexe Zahlen Ausdruck z=e^ (1+i)/(1-i) vereinfachen und Ungleichung

Question

Ich weiß nicht wie ich diesen Ausdruck vereinfachen kann 

 

z = e^{(1+i) / (1-i)}

 

^{und wie löst man diese Ungleichung? z = a + bi}

(1 - ΙaΙ) / a ≥ a 

Comments

^{und wie löst man diese Ungleichung? z = a + bi}

1 - ΙaΙ / a ≥ a 

Wenn tatsächlich z=a+ib da steht, kann man annehmen, dass a eine reelle Zahl ist.

Dann hat die Ungleichung nichts mit komplexen Zahlen zu tun und ist in R zu lösen.

Wegen Punkt- vor Strichrechnung steht 1 - vor und nicht etwa über dem Bruchstrich. Ist das Absicht?

EDIT(Lu): In der Fragestellung Klammern ergänzt zu z = e^{(1+i) / (1-i)}.

Answer 1

Ich nehme an, du meinst

z = e^{(1+i )/ (1-i)}

Betrachte nur mal den Exponenten

(1+i)/(1-i)             | erweitern mit (1+i) d.h. 3. Binom

((1+i))^2/(1 -i^2)

= (1 + 2i + i^2)/ (1+1)

= (1 + 2i - 1)/2

= (2i)/ 2

= i 

Also ist 

z = e^{(1+i )/ (1-i)} = e^{i}

Solltest du hiervon noch den Real- und den Imaginärteil separat brauchen, denke an e^{iφ} = cos(φ) + i sin(φ).

Bei z gilt φ = 1.

Also z = cos(1) + i sin(1) 

Re(z) = cos(1) , Im(z) = sin(1).

2. hat nichts mit komplexen Zahlen zu tun. EDIT: vgl. unten.

Kontrolle zu 1. https://www.wolframalpha.com/input/?i=e%5E%28%281%2Bi+%29%2F+%281-i%29%29

Comments

Man hätte auch mit (1 - i) erweitern können, da käme das gleiche raus.

Egal wie, wichtig ist, dass man weiß, dass i² = -1 ist.

Bei der Ungleichung ist nur der Realteil enthalten.

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ganz genau heißt es
( 1-ΙaΙ ) / (a) ≥ a
die senkrechten striche sollen Betrag bedeuten :)

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(1 - ΙaΙ) / a ≥ a
1. Fall a> 0

(1 - a) / a ≥ a
1-a ≥ a^2

0 ≥ a^2 + a - 1 nach oben geöffnete Parabel

Nullstellen

0 = a^2 + a - 1

a1,2 = 1/2 ( -1 ±√(1+4)) = (-1±√5)/2

L1 = [(-1-√5)/2, (-1+ √5)/2] n (0,∞) = (0,(-1 + √5)/2]

2. Fall a< 0

(1 + a) / a ≥ a
1+a ≤ a^2

0 ≤ a^2 - a - 1 nach oben geöffnete Parabel

Nullstellen

0 = a^2 - a - 1

a1,2 = 1/2 ( 1 ±√(1+4)) = (1±√5)/2

L2 =(  (-∞,(1-√5)/2)] u [ (1+ √5)/2, ∞)]  ) n (-∞,0) =   (-∞,(1-√5)/2)]

Zusammengefasst:

L = L1 u L2 =   (-∞,(1-√5)/2)] u  (0,(-1 + √5)/2]

Bitte selbst nachrechnen und mit Brüchen abschreiben.

Kontrolle: https://www.wolframalpha.com/input/?i=%281+-+abs%28a%29%29+%2F+a+≥+a+++

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danke für deine schnelle hilfe immer ;)


und nicht schlecht was man ja alles mit wolfram alpha machen kann :)

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Bitte. Gern geschehen! Zumindest zur Kontrolle ist Wolframalpha ganz nützlich.